从早餐店到三国演义：线性方程组的无解与无穷多解问题
从早餐店到三国演义：线性方程组的无解与无穷多解问题
线性代数是许多理工科学生感到头疼的课程，尤其是初学者往往难以理解线性方程组的无解和无穷多解情况。本文通过生动的故事情节和直观的几何解释，深入浅出地讲解了这些问题，并介绍了如何通过最小二乘法和最小范数解来处理这些问题。
从三国演义到早餐店：线性方程组的无解
在《三国演义》的故事中，张飞号称“张一刀”，一刀切下去，是多少斤客官就得买多少斤。而关羽绰号“关一掏”，掏出多少钱，摊贩就得收多少，从不让找零。这天关羽来张飞这里买肉，看不惯张飞的跋扈，就故意只掏了一个小铜钱。两人吵了起来，多亏卖草鞋的刘备劝解。于是三人桃园结义，留下后面回响千年的英雄史诗。
图1：张飞关羽桃园结义
这个故事虽然有趣，但与线性方程组有什么关系呢？其实，这个故事可以用来解释线性方程组的无解情况。在早餐店买早餐的例子中，如果顾客里有那么几位豪爽之士，动不动掏了钱随口说不用找，我们的宅男就无法得到正确的交易数据。这些有误差的数据汇总到一起，构成的线性方程组就会自相矛盾，从而使得方程组无解。
无解也得一知半解？
当线性方程组出现自相矛盾时，我们通常会采用最小二乘法来获取一知半解的信息。最小二乘法的核心思想是选择一组数x，使得方程组的误差平方和达到最小。这种近似解在实际应用中非常有用，尤其是在数据采集和传输过程中存在常态化的误差时。
图2：理想情况下三个平面相交于一点
图3：第四个平面与前三个平面没有公共点
最小二乘法的应用：数据拟合
最小二乘法在数据拟合中有着广泛的应用。例如，当我们猜想两个变量u和v之间存在一个二次函数关系时，可以通过测量数据来拟合这个函数。假设我们在u=1，4，7三个位置上做了三次测量，测量到的v值可以用来建立一个线性方程组。如果我们做了更仔细的测量，在自变量不同的地方获得了更多的数据，这些数据可能偏离我们拟合的二次函数，这时就可以使用最小二乘法来找到一个最佳拟合函数。
图7：三个平面相交于一条直线
无穷多解的情况怎么办？
当线性方程组的方程个数小于未知数个数，或者虽然方程个数够但有些方程之间线性相关时，就会出现无穷多解的情况。在这种情况下，我们通常会采用最小范数解来获得一个唯一的解。最小范数解是在所有可能的解中选择欧几里得模最小的那个解。
无解而且约束不足的情况
当线性方程组的系数矩阵A的秩rank(A)与增广矩阵(A|y)的秩rank(A|y)相差1时，方程组会出现自相矛盾，没有解。在这种情况下，我们可以使用最小二乘法来估计一个“解”，同时通过最小范数约束来进一步优化这个解。
图8：三个平面围出的平直“隧道”
结语
线性代数中的无解和无穷多解问题看似复杂，但通过最小二乘法和最小范数解等方法，我们可以找到合理的解决方案。这些方法不仅在数学上有深刻的理论基础，也在实际应用中发挥着重要作用。正如文章最后所说，“无解不妨一知半解，多解宁可不求甚解。即便有点误差，也好过什么都不做。”