基于GeoGebra的二次曲面动态可视化研究

基于GeoGebra的二次曲面动态可视化研究

在高等数学教学中，二次曲面是一个重要的知识点，但其抽象性和复杂性往往让很多学生感到难以理解。本文将介绍如何利用GeoGebra软件对二次曲面进行动态可视化教学，通过伸缩法和截痕法等方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 引言

高等数学是高校理工科学生的专业基础课程，其中“曲面及其方程”这一节的教学重点是熟知二次曲面的标准方程和它们的形状。二次曲面被广泛应用于建筑工程、造型设计、模具加工、水利工程、通信工程等领域。

计算机的快速发展和应用的普及，使得多媒体在教学中的运用变得普遍和广泛。GeoGebra软件是一款开源免费的数学动态软件，它集成了几何、代数、微积分、概率论等多种功能模块。通过GeoGebra5.0版本新增加的3D功能绘制空间立体图形，不仅能将复杂的空间曲面方程精准、直观地用三维图形表现出来，还能用鼠标移动控制将复杂曲面任意放缩、旋转，使学生能直观地、全方位地观察、理解空间曲面方程所表示的曲面形状、特征和性质。

2. 文献综述

国内外的一些教师已经将多媒体技术引入到高等数学的教学中，常见的有Flash动画、三维动画(3D Studio)、AutoCAD等。但是这些多媒体技术的应用仅仅是解决了授课时的作图问题，提高了工作效率，但不能精准地反映问题的本质以及图形背后的数学含义。GeoGebra软件凭借着免费、开源、可脱机、可在线和跨平台使用的优势，在许多国家得到了广泛的应用和推广。

3. 二次曲面交互式动态可视化设计

3.1. 案例1：利用伸缩法和截痕法研究椭圆抛物面

椭圆抛物面的标准方程为：
用xoy坐标平面的平行平面截椭圆抛物面得截线方程为：
用zox坐标平面的平行平面y=m截椭圆抛物面得截线方程为：
用yoz坐标平面的平行平面x=n截椭圆抛物面得截线方程为：

设计步骤：

1. 利用代数输入法建立滑动条。
   选择绘图区，在命令框内输入如下指令，并回车。
   a = 滑动条(1, 10, 0.1)，b = 滑动条(1, 10, 0.1)，k = 滑动条(1, 10, 1)，m = 滑动条(−10, 10, 0.1)，n = 滑动条(−10, 10, 1)；

2. 选择3D绘图区，在命令框内输入如下指令，并回车。

1. F:z = x^2/a^2 + y^2/b^2；
2. p:z = k；
3. d:相交路径(p, F)；
4. q:y = m，r:x = n，e：相交路径(q, F)，f：相交路径(r, F)；

交互式操作说明：

1. 通过滑动条a，b可以进行椭圆抛物面伸缩法演示，通过滑动条k、m、n进行截痕法演示，如图1。
2. 为了便于观察图形，可以在代数区关闭暂时不需要观察的图形。
3. 在代数区右键单击交线方程d、e、f，选择开启跟踪，在通过滑动条进行观察截痕法时，可以看到运动轨迹的变化，使得动态演示更加生动形象。
4. 通过鼠标可以在3D绘图区任意放大、缩小、旋转空间图形。
5. 为了突出演示效果，可以在图形属性窗口改变图形的颜色、线条。也可以在绘图区添加文本、按钮等进阶功能。这样使得整个交互式可视化截面更加美观，操作更加方便。

图1.截痕法演示–椭圆抛物面

3.2. 案例2：利用伸缩法和截痕法研究单叶双曲面

单叶双曲面的标准方程为：
用xoy坐标平面的平行平面z=k截单叶双曲面得截线方程为：
{z=k
用zox坐标平面的平行平面y=m截单叶双曲面得截线方程为：
{y=m

设计步骤：

1. 利用几何输入法建立滑动条。
   选择“滑动条”工具，点击绘图区，在属性对话框内，名称修改为a，最小值为1，最大值为10，增量为0.1，类似建立滑动条b，c。建立滑动条k、m，在属性中，最小值为−10，最大值为10，增量为1。

2. 选3D绘图区，在命令框内输入指令，并回车。

1. F:x^2/a^2 + y^2/b^2 − z^2/c^2 = 1；
2. p:z = k；
3. q:y = m；

3. 利用几何输入法建立截线方程及图形。

1. 点击3D绘图区，选择“相交曲线”工具，然后在代数区或3D绘图区分别点击曲面F和平面p，建立截线，重命名为d。
2. 标点击3D绘图区，选择“相交曲线”工具，然后分别点击曲面F和平面q，建立截线，重命名为e。

4. 为增强交互性以及软件界面的简洁性，建立“播放/暂停”按钮和“显示/隐藏”复选框。

1. 点击绘图区，选择“复选框”工具，在绘图区点击，弹出对话框，标题改为g，点击应用。
2. 点击绘图区，选择“按钮”工具，在绘图区点击，弹出对话框，标题改为“播放/暂停”，脚本代码为：
   赋值[g, −g]
   启动动画[k, g]
3. 点击绘图区，选择“复选框”工具，在绘图区点击，弹出对话框，标题改为“垂直于z轴的平面产生截痕”，在下拉列表中选取想要隐藏的对象“椭圆d，平面p，数值k，按钮button1，布尔值g”，点击应用。
4. 点击绘图区，选择“复选框”工具，在绘图区点击，弹出对话框，标题改为“垂直于y轴的平面产生截痕”，在下拉列表中选取想要隐藏的对象“双曲线e，平面q，数值m”，点击应用。

交互式操作说明：

通过滑动条a，b，c可以进行实时交互的单叶双曲面伸缩法演示，通过滑动条k，m进行实时交互的单叶双曲面截痕法演示，在代数区右键点击截痕方程点击“开启跟踪”，可以观察曲线轨迹，如图2。通过绘图区的复选框，可以显示或隐藏3D绘图区的部分图形，并通过“播放/暂停”按钮演示动态图形。

图2.截痕法演示–单叶双曲面

3.3. 案例3：利用伸缩法和截痕法研究双曲抛物面

双曲抛物面的标准方程为：
用xoy坐标平面的平行平面z=k截双曲抛物面得截线方程为：
用zox坐标平面的平行平面y=m截双曲抛物面得截线方程为：
用yoz坐标平面的平行平面x=n截双曲抛物面得截线方程为：

设计步骤：

1. 建立滑动条，名称分别为a、b、c、k、m、n，滑动条的变化范围和增量可以根据图形演示的需求自由调整。
2. 选3D绘图区，在命令框内输入指令并回车。

1. F:G:x^2/a^2 − y^2/b^2 = z；
2. p:z = k；q:y = m；r:x = n
3. 相交路径(p, F)；相交路径(q, F)；相交路径(r, F)；

交互式操作说明：

通过滑动条a，b，c可以进行实时交互的双曲抛物面伸缩法演示，通过滑动条k，m，n进行实时交互的双曲抛物面截痕法演示，如图3。

图3.截痕法演示–双曲抛物面

3.4. 案例4：利用截痕法研究单叶面的直纹性

直纹曲面(即曲面的直纹性)是指在空间由一族直线生成的曲面，这些构成曲面的直线称直母线。二次曲面中的单叶双曲面和双曲抛物面，其面光滑而弯曲，它们的直纹性很难直观地观察。单叶双曲面由两族直母线构成，两族直母线方程分别为：
{v=u和
其中为任意正实数，其中为任意实数

设计步骤：

1. 建立滑动条，名称分别为a、b、c、u、v、s、t，滑动条的变化范围和增量可以根据图形演示的需要自由调整。
2. 选3D绘图区，在命令框内输入指令，并回车。

1. F:x^2/a^2 + y^2/b^2 − z^2/c^2 = 1；
2. p:s (x/a + z/c) = t (1 − y/b)，p_1:t (x/a − z/c) = s (1 + y/b)；
3. 相交路径(p, p_1)；
4. v (x/a − z/c) = u (1 − y/b)，u (x/a + z/c) = v (1 + y/b)；
5. 相交路径(q, q_1)；

交互式操作说明：

通过滑动条s，t进行实时交互的演示，观察第一组直母线，启用轨迹跟踪，更加直观的观察直母线的变化轨迹。通过滑动条u，v进行实时交互的演示，观察第二组直母线，启用轨迹跟踪，更加直观的观察直母线的变化轨迹。如图4。

图4.直纹面演示–单叶双曲面

3.5. 案例5：利用截痕法研究双曲抛物面的直纹性

双曲抛物面由两族直母线构成，两族直母线方程分别为：
和{
其中a,b为任意正实数，其中u,v为任意实数。

设计步骤：

1. 通过几何输入或代数输入法建立滑动条，名称分别为a、b、u、v，滑动条的变化范围和增量可以根据图形演示的需要自由调整。
2. 选3D绘图区，在命令框内输入指令并回车。

1. F:x^2/a^2 − y^2/b^2 = z；
2. p:x/a − y/b = 2v并回车，q:x/a + y/b = 2u并回车；
3. 相交路径(p, F)；相交路径(q, F)；

交互式操作说明：

通过滑动条m，n进行实时交互的双曲抛物面截痕法演示，如图5。观察截线都为直线，启用轨迹跟踪，更加直观的观察直母线的变化轨迹。

图5.直纹面演示–双曲抛物面

4. 结束语

数学动态软件GeoGebra拥有强大的三维可视化功能，它所绘制的二次曲面图形是精细标准的也是实时动态和交互可控的，这也正是GeoGebra作为动态可视化工具的魅力所在，其灵活的动态可视化工具是其它一些绘图和数学软件无法比拟的。利用GeoGebra对空间几何体的形态进行动态可视化设计，其形式直观、生动，不仅便于学生深刻理解所学的知识，提高认知水平，而且利于教师更好地进行现代化的教学改革，提高教学水平。将GeoGebra的动画技术融于高等教学是一件非常值得深入研究的工作。

基金项目

2024年度沈阳航空航天大学校级教改立项：利用GeoGebra技术提升“高等数学”课程教学效果的探究与实践。