两圆的公共弦长怎么求

两圆的公共弦长怎么求

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/37jWuPF4IgZ.html

在几何学中，计算两个圆的公共弦长是一个常见的问题。本文将详细介绍如何通过联立两个圆的方程来求解公共弦长，并提供具体的数学推导过程和通用公式。

首先联立两个圆的方程，通过两圆方程相减，求出两圆的公共弦所在的直线方程，把问题转化为求直线与圆相交弦的弦长。之后再把这条直线代入其中任何一个圆的方程中即可算出弦长。

设两圆分别为
$$
x^2+y^2+c_1x+d_1y+e_1=0 \quad ①
$$
$$
x^2+y^2+c_2x+d_2y+e_2=0 \quad ②
$$

两式相减得
$$
(x^2+y^2+c_1x+d_1y+e_1)-(x^2+y^2+c_2x+d_2y+e_2)=0 \quad ③
$$

③就是弦所在直线的方程

先证明这条直线过两圆交点
设交点为$(x_0,y_0)$则满足①②
所以交点在直线③上
由于过两交点的直线又且只有一条，所以根据两个交点长度就可以求出两圆相交的公共弦长。

弦长通用公式为：
$$
|x_1-x_2|\sqrt{k^2+1}=|y_1-y_2|\sqrt{\left(\frac{1}{k^2}\right)+1}
$$
其中$k$为直线斜率,$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$为直线与曲线的两交点。