直线与圆的最值问题（高二）

直线与圆的最值问题（高二）

专题：直线+圆(\qquad \qquad)题型：最值问题(\qquad \qquad)难度系数：★★★

题目

已知(P)为圆(C：x^2+y^2=1)上的动点，直线(l_1：kx-y-3k=0)恒过定点(A)，(Q)为直线(l_2：x-y+3=0)上的动点，则(|PA|+3|PQ|)的最小值为(\underline{\quad \quad}).

思考痕迹

2. 最值问题，常见方法就代数法和几何法；设元引入参数，把问题转化为函数问题，计算难度很大，故舍去；采取几何法；

3. 几何法，脑子过下常见的几何模型：将军饮马、三点共线、垂线段最短、圆外点与圆上点的距离、胡不归等；

4. 把(|PA|+3|PQ|)化为两条线段之和，可把(|PA|+3|PQ|)中的“(3|PQ|)”或(\left|PA\right|+3\left|PQ\right|=3(\dfrac{1}{3}|PA|+|PQ|))中“(\dfrac{1}{3}\left|PA\right|)” 用一线段表示；

5. 两动点问题，想化为一动点问题：先当动点(P)为一定点，确定动点(Q)什么情况下(|PA|+3|PQ|)最小值，再把点(P)动起来，操作起来行不通；

6. 利用题中图象的对称性，看下能否得到(|PB|)与(|PA|)有无什么关系，貌似没有.

错解

基于以上几点，作了一些尝试.

在线段(PA)上取点(C)，使得(|PC|=\dfrac{1}{3}\left|PA\right|)，

则(\left|PA\right|+3\left|PQ\right|=3(\dfrac{1}{3}|PA|+|PQ|)=3|PC|+|PQ|≥3|CQ|)①，

因为(D(1,0))，(A(3,0))，易得(\left|CD\right|=\dfrac{1}{3}\left|OP\right|=\dfrac{1}{3})，

即点(C)在以点(D)为圆心，半径为(\dfrac{1}{3})的圆上，

则(\left|CQ\right|_{min})等于点(D(1,0))到直线(l_2：x-y+3=0)的距离减去半径，即(2\sqrt2-\dfrac{1}{3})；

则(\left|PA\right|+3\left|PQ\right|)的最小值(6\sqrt2-1).

错因分析

推导过程式子①中(3|PC|+|PQ|≥3|CQ|)，当(C)、(P)、(Q)三点共线时取到的；

而(\left|CQ\right|_{min})是当(DQ\bot)直线(l_2)时取到的，

但它们不能同时取到，故答案不对.

详解

最后想到了“阿氏圆模型”

取点(E(\dfrac{1}{3},0))，

因为(\dfrac{\left|OE\right|}{\left|OP\right|}=\dfrac{\left|OP\right|}{\left|OA\right|}=\dfrac{1}{3})，且(\angle POE=\angle AOP)，所以(∆POE \sim ∆AOP)，

所以(\left|PE\right|=\dfrac{1}{3}\left|PA\right|).

则(\left|PA\right|+3\left|PQ\right|=3(\dfrac{1}{3}|PA|+|PQ|)=3|PE|+|PQ|≥3|EQ|)，

显然当(EQ\bot)直线(l_2)时，(\left|EQ\right|)取到最小值(d=\dfrac{|\dfrac{1}{3}+3|}{\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{3})，

所以(\left|PA\right|+3\left|PQ\right|)的最小值为(5\sqrt2).

内容补充---阿氏圆

阿波罗尼斯圆定理

如图，(P)是平面上一动点，(A)、(B)是两定点，(PA＝kPB(k>0)且(k\neq1))，则(P)点的轨迹是圆.

阿氏圆模型

“(PA+k·PB)”型最值问题.

当(k=1)时，即可转化为“(PA+PB)”之和最值问题，如 “将军饮马”模型.

当(k\neq1)时，常规的轴对称思想无法使用.因此我们想要通过转化，把题目变为我们熟悉的模型，在这个过程中产生了两种模型. 当动点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”模型；点(P)在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”模型.

如下图，(⊙O)的半径为(r)，点(A)、(B)都在(\odot O)外，(P)是(\odot O)上一动点，已知(r=k·OB)， 连接(PA)、(PB)，则当“(PA+k·PB)”的值最小时，(P)点的位置如何确定？

解析如图1，在线段(OB)上截取(OC)使(OC=k·OP)，

则有(\triangle BPO)与(\triangle PCO)相似(利用对应边成比例)，由此可得(k·PB=PC)(转化成功).

故本题求“(PA+k·PB)”的最小值可以转化为“(PA+PC)”的最小值，

故当(A)、(P)、(C)三点共线时，“(PA+PC)”值最小.如图2.

做题时最关键步骤就是“转化(k·PB)”，

即在(OB)上找到点(C)，使得(\dfrac{OC}{OP}=\dfrac{OP}{OB}).