极坐标方程曲线的描绘方法详解

极坐标方程曲线的描绘方法详解

极坐标方程是高中数学的重要内容，掌握其曲线的描绘方法对于理解数学概念和解决实际问题都非常重要。本文详细介绍了极坐标方程的基本概念、对称性分析方法以及具体的作图步骤，并通过多个实例展示了如何描绘不同类型的极坐标曲线。

极坐标方程的基本概念

极坐标方程里含两个变数 ρ 及 θ，它的形式如 F(ρ，θ)＝0 。

在极坐标里，从 ρ，θ 的每一组对应的值 (ρ₁，θ₁)，(ρ₂，θ₂)，…作为点的坐标，并且标出这许多点子，然后用平滑的曲线依次连结这些点，得到的曲线，就叫它是这极坐标方程的曲线，反过来，称这方程为这曲线的极坐标方程。

在特殊情况下，方程中可能只有一个变数，如 θ＝30°，这说明不管 ρ 的值如何，θ 的值总是一定，它现在是一条直线，与轴成 30° 的角（见图7·6）。又如 ρ＝10，这说明不管 θ 角的大小，ρ 的值总是一定，所以它的图象是一个圆，圆心在极点，半径为 10 个单位长（见图7·7）。

极坐标方程的对称性分析

在方程 F(ρ，θ)＝0 中，如果用－θ 代 θ，而方程仍不变，则它的曲线关于极轴对称。从上节例2中并参考第二章的对称讨论，就容易得出关于极坐标方程的曲线的对称性条件。利用这些条件可以看出这图形关于极轴、90° 线或极点的对称性质。今列表于下，以备查考。

在极坐标中，因为一点坐标的多值性，所以表上所列条件只举常用的两种，其他条件都略去了[ 如 f(ρ，θ) ≡ f(ρ，3π＋θ) 时，这曲线也关于极点对称等等，就略去了 ]。用这表时应当注意到几点：

(1) 对称性只是对于极轴、90° 线、极点而言，至于曲线的本身是否是一个对称图形，在这里是无法讨论的。

(2) 表上的条件只要有一条适合时，就可肯定它图形的对称性，如在方程 ρ＝aθ 中，当以－θ 代 θ，同时以－ρ 代 ρ 时方程不变，它适合于表上第Ⅱ类的第一条件，所以就可以说它的图象关于 90° 线对称（见下例4）。但在表上对于第Ⅱ类第二个条件是不适合的，因为 aθ 不同于 a(π－θ) 的。所以极坐标的对称性质只可在描图时作一参考，在遇到较繁复的问题，图形不易看出时，列表可从 θ 为 0 起至一定的数值，当 ρ 的数值开始周而复始重新循环，那就不必再求下去了（见下面的例1，4）。

(3) 因为极坐标系中一点坐标的多值性，所以在表上的条件都不适合时，不能就肯定说它无对称性了【这种情况一般是比较少见的】。如在 ρ＝a cos(2/3)θ（见习题7-1第2(5)题）中，它的图象是关于极点、极轴及 90° 线对称的，然而在上面表上只看出它对称于极轴（因 ρ＝a cos(2/3)(－θ)＝a cos(2/3)θ）其他对称情况就难看出。但以 (ρ，π＋θ) 与 (ρ，3π＋θ)（实际上是同一个点）代之，则 ρ＝a cos(2/3)(3π＋θ)＝a cos(2π＋2θ/3)＝a cos(2/3)θ，这说明用 3π＋θ 代 θ 方程也不变，所以它也是关于极点对称的。

(4) 在图形中，很清楚可以看到，只要曲线具有两种对称性质，它必定具有第三种对称性质。所以 ρ＝a cos(2/3)θ 也就关于 90° 线对称了。

极坐标方程曲线的描绘方法

从前面的例子，我们可以得到描绘极坐标方程的曲线的法则：

1、解式：化为函数式 ρ＝f(θ) 。

2、讨论：在描图以前，先考虑曲线的对称性以及曲线的范围，这对曲线的描绘有很大帮助。

3、列表：定点从 0° 起给 θ 一系列的数值，同时求 ρ 的对应值列成一表。用每组的 ρ，θ 的值作为一点的坐标定出各点的位置。

4、描图：按表上点的次序，依次顺势连得一平滑曲线。

例1. 作 ρ＝2r cosθ 的曲线。

【解】

今因 cos(－θ)＝cosθ，所以曲线是关于极轴对称。

又以 | cosθ | ≤ 1，

所以 | ρ | ≤ | 2r | 。

曲线是在有限的范围内。

为作图便利起见，令 r＝5，具体方程是 ρ＝10 cosθ 。

列表：

它的曲线是一个圆。

例2. 作出 ρ＝a(1＋cosθ) 的曲线。

【解】

因 cos(－θ)＝cosθ，

可见曲线关于极轴对称。

又因 | cosθ | ≤ 1，

所以 | ρ |＜| 2a | 。

为作图便利起见，今设 a＝5，方程是 ρ＝5(1＋cosθ) 。

列表：

根据表中p和0的对应值作为点的坐标定出各点的位置，顺次连结这些点得到极轴上方的一半曲线，再根据对称性，作出在极轴下方的一半曲线，就可以得到所求的曲线（图7·9）。这曲线称为心脏线。

例3. 作出 ρ²＝a²cos2θ 的曲线。

【解】

今以－θ 代 θ，或以－ρ 代 ρ，方程均不变，所以它的曲线既对称于极轴，也对称于极点，当然也就对称于 90° 线了。因 | cos2θ |＜1，所以 | ρ |＜| a | 。现在就 ρ 方程，

得

。

所以 cos2θ 不能为负值，就是不能有 cos2θ＜0，也就是不能有 90°＜2θ＜270°，或 450°＜2θ＜630°，就是不能有 45°＜θ＜135°，或 225°＜θ＜315° 。

所以 θ 在 45° 到 135° 之间或 θ 在 225° 到 315° 之间无曲线。

为描图便利起见，今设 a＝10，方程是

。

列表：

曲线见图7·10，这曲线叫做双纽线（也叫双叶玫瑰线）。

例4. 作出

的曲线。

【解】

因为 sinθ＝sin(π－θ)，可见图象是关于 90° 线对称。

当 θ 接近于 90° 时，sinθ 的值接近于 1，此时 1－sinθ 接近于0，ρ 的值逐渐增大至 ∞，所以在 θ＝90° 的方向上，曲线伸展到无穷远。

如设 p＝2 时，方程是

。

列表：

方程的曲线是抛物线（图7·11）。

例5. 作 ρ＝3θ 的曲线。

【解】

今 (－ρ)＝3(－θ)，可见曲线关于 90° 线对称。

当 | θ | 的值增大时，| ρ | 也随之增大，所以曲线伸展到无穷远。

列表（θ 用弧度制）：

曲线如图7·12，叫做螺线，实线表示 ρ，θ 的值均是正时所对应的曲线部分；虚线表示 ρ，θ 的值均是负时所对应的曲线部分。

【注】方程 ρ＝a cosθ 与方程 y＝a cosx 的形式虽然相同，但习惯上对第一个方程作为极坐标方程，它的曲线是对极坐标系的，是一个圆；而第二个方程是直角坐标系下的方程，它的曲线是对直角坐标系的，这是余弦曲线，这种区别必须辨别清楚。

练习

1、在下列各题中，每个方程的曲线有无不同？试不用作图，说明你的理由。

(1) θ＝π/3，cosθ＝1/2；答：cosθ＝1/2 表示两条直线，即 θ＝π/3 和 θ＝－π/3 。

(2) cosθ＝1/2，sinθ＝√3 /2；答：各表示两条曲线，均相同。

(3) θ＝π/3，tgθ＝√3；答：tg＝√3 表示一条直线 θ＝π/3 。

(4) ρ＝10，ρ＝－10，ρ²－100＝0 。答：相同。

2、不用作图，说明下列三个方程的图象不是同一的：

ρ＝cos(θ＋1)，ρ＝cosθ＋1，ρcosθ＝1 。

3、简单地说明下面方程的轨迹有什么区别（不必作图）？

极坐标系方程 ρ＝sinθ，直角坐标系方程 y＝sinx 。

习题7-1~7-2

1、描绘下列各极坐标方程的图象，并加以简单的讨论：

(1) ρ＝12；【圆，圆心在极点，半径是12】

(2) ρ²－3ρ－70＝0；[提示：分解因式后，分别描图 ]【ρ＝10 或 ρ＝－7，以极点为圆心，半径是 10 或 7 的两个圆】

(3) θ＝5π/3；【一直线过极点且与极轴成 5π/3 的角】

(4) sinθ＝－√3 /2；【过极点且与极轴成 θ＝5π/3 或 θ＝4π/3 的二直线】

(5) ρ＝a secθ；【垂直于极轴且与极点相距为 a 的直线（在极点之右）】

(6) ρ＝－3csc(θ－60°)；【一直线】

(7) ρ＝a cosθ；【圆，圆心 (a/2，0)】

(8) ρ＝a(1－cosθ)（蜗线的一种——心脏线）；

(9) ρ＝2／(1－cosθ) 它与例3的图象有什么关系？【抛物线】

(10) ρ＝a(cscθ＋1)（蚌线的一种）；

(11) ρ²＝a²sin2θ（双叶玫瑰线，简称双纽线）；[提示：因－ρ 代 ρ，方程不变，故图形对称于极点 ]

(12) p＝π／θ（双曲螺线）。【见435页图。实线表示 θ 为正的部分，虚线表示 θ 为负的部分】

2、设 a＞0，描绘下列方程的曲线（不需要讨论）：

(1) ρ＝a cos3θ；

[提示：

| p | ≤ a，曲线在有限范围内。今按 θ 的值列表：

此题的曲线叫做三叶玫瑰线。

用这题列表的方法可以比较快速地把图形描出，同样，利用这种方法可描出下面几题的曲线 ]

(2) ρ＝a sin3θ（三叶玫瑰线）；

(3) ρ＝a sin2θ（四叶玫瑰线）；

(4) ρ＝a cos2θ（四叶玫瑰线）；

(5) ρ＝a cos(2/3)θ 。

[提示：

列表

当 θ 从 0°540°，曲线从 ABOCDEOB~F 刚好是图形上面的一半。

当 θ 从 540°1080°，曲线从 F 起到 A 止（FB'OED'COB'~A），是图形下面的一半 ]