参数化视角下的函数与反函数导数：考研数学解题新策略

参数化视角下的函数与反函数导数：考研数学解题新策略

参数化视角下的函数与反函数导数：考研数学解题新策略

摘要

本文提供了一种新的视角来理解函数及其反函数，并且还通过参数化方法简化了反函数导数的计算过程。这些推导结果可以直接应用于考研高数解题中，特别是在需要快速求解反函数导数的场合。通过本文的分析和推导，读者将能够更深入地理解参数方程在数学中的应用，并掌握一种新的解题技巧。

一、引言

在高等数学的学习过程中，我们会经常遇到一类题目：题干给出一个$y = y(x)$的函数关系式，但却难以通过运算得到$x = x(y)$的显式反函数关系式。然而题目却要求考生计算$x$关于$y$的导数。比如武钟祥老师的每日一题：

求一阶导数时，自然很简单：

$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{y'}
$$

然而求二阶导数时，情况则不像一阶时取个倒数那么简单了：

$$
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{y''}{y'^3}
$$

该结论自然可以通过复合函数求导法则和导数四则运算法则推导得到。但本文希望从一个更高的视角，以参数化的形式统一对函数、反函数进行描述，将参数方程中的结论应用到反函数中去。如此一来，考生便可一下子同时记住两个知识点，岂不美哉！

二、 参数方程

参数方程是一种重要的数学工具，它允许我们以一种更为直观和灵活的方式来描述函数及其变化。在考研高等数学的备考中，掌握参数方程及其相关导数的计算对于解决复杂问题至关重要。

参数方程描述的函数的表述形式如下：

$y$对$x$的导数为：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\phi'(t)}{\psi'(t)}
$$

同理，$x$对$y$的导数为：

$$
\frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dt}{dy} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}
$$

$y$对$x$的二阶导数为：

$$
\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} \
&= \frac{d(\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx})}{dt} \frac{dt}{dx}\
&= [\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dx} + \frac{dy}{dt} \frac{d}{dt}(\frac{1}{dx/dt})] \frac{dt}{dx} \
&= [\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dx} - \frac{dy}{dt} \frac{d^2x/dt^2}{(dx/dt)^2}] \frac{dt}{dx} \
&= (\frac{dt}{dx})^3 (\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dx}{dt} - \frac{dy}{dt} \frac{d^2x}{dt^2}) \
&= \frac{1}{[\psi'(t)]^3} [\phi''(t) \psi'(t) - \phi'(t)\psi''(t)]
\end{align}
$$

同理，$x$对$y$的二阶导数为：

$$
\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{[\phi'(t)]^3} [\psi''(t) \phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)]
$$

三、反函数参数方程化

对于函数$y = y(x)$，我们也可将其写成参数方程形式：

$$
\begin{cases}
x = x(t) \
y = y(t)
\end{cases}
$$

根据上文的讨论，可得到其反函数$x = x(y)$的一阶导数$\frac{dx}{dy}$、二阶导数$\frac{d^2x}{dy^2}$分别为：

$$
\frac{dx}{dy}=\frac{\psi'(x)}{\phi'(x)} = \frac{1}{y'(x)}
$$

$$
\begin{align}
\frac{d^2x}{dy^2} &= \frac{1}{[\phi'(x)]^3} [\psi''(x) \phi'(x) - \psi'(x)\phi''(x)] \
&= \frac{1}{[y'(x)]^3}[ 0 \cdot y'(x) - 1 \cdot y''(x)] \
&= -\frac{y''(x)}{y'(x)^3}
\end{align}
$$

四、结论

根据第二和第三小节的讨论，引言部分中题目的解答如下：

函数：

$$
y = y(x) = \ln x + e^x
$$

$y$对$x$的一阶导数：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + e^x
$$

$x$对$y$的一阶导数：

$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{1/x+e^x} = \frac{x}{1+xe^x}
$$

$x$对$y$的二阶导数：

$$
\begin{align}
\frac{d^2x}{dy^2} &= -\frac{y''(x)}{y'(x)^3} = -\frac{(\frac{1}{x} + e^x)'}{(\frac{1}{x} + e^x)^3} \
&= -\frac{-\frac{1}{x^2}+e^x}{(\frac{1}{x} + e^x)^3} \
&= \frac{x-x^3e^x}{(1+xe^x)^3}
\end{align}
$$

参数化方法为理解和计算函数及其反函数的导数提供了一种直观和有效的方式。将参数方程、反函数两个知识点关联起来，可以加深我们对函数本质的理解，掌握参数方程、反函数的一阶、二阶导数公式的来龙去脉，方便我们记忆计算公式，加快考生解题速度。