函数的极限与连续性的关系
函数的极限与连续性的关系
函数的极限与连续性是高等数学中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系。本文将从定义出发，详细解释函数极限和连续性的概念，并探讨两者之间的关系。
1.函数极限的定义
假设f ( x ) f(x)f(x)是一个实函数，c cc是一个实数，那么
lim x → c f ( x ) = L \lim_{x \to c} \ f(x) =Lx→clim f(x)=L
表示f ( x ) f(x)f(x)可以任意地靠近L LL，只要我们让x xx充分靠近c cc。此时，我们说当x xx趋向c cc时，函数f ( x ) f(x)f(x)的极限是L LL。值得特别指出的是，这个定义在f ( c ) f(c)f(c)的时候同样是成立的。事实上，即使f ( x ) f(x)f(x)在c cc点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。—《维基百科》
简单说就是f(x)在c点的左右极限都存在且相等，如图
注意：函数f(x)在c点有无极限与在c点有无定义无关
2.函数在某一点连续的定义
假设f ( x ) f(x)f(x)是一个实函数，定义域为R，f ( x ) f(x)f(x)在R中的某一点c cc处连续当且仅当以下的两个条件满足即可：
- f ( x ) f(x)f(x)在 c 点有定义。
- f ( x ) f(x)f(x)在c点有极限，且极限等与f ( x ) f(x)f(x)在该点的函数值，即lim x → c f ( x ) = f ( c ) \lim_{x \to c} \ f(x) =f(c)x→clim f(x)=f(c)
详细定义请参考维基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0
3.函数的极限与连续性的关系
由定义可得函数在某一点连续必有极限，有极限不一定连续
(1) 函数在某一点连续一定有极限吗？
一定。根据定义函数在某一点连续必有极限
(2) 连续函数一定有极限吗？
不一定。例如，函数y = x y=xy=x当x xx趋向与正无穷时，y yy也趋向与正无穷，不存在极限。连续函数一定存在极限指的是趋向某个确定值的时候才存在极限，比如x xx趋向与3。
(3) 函数在某一点有极限，则在该点一定连续吗？
不一定。比如，第一类可去间断点函数，间断点的极限存在，但函数在该点无定义,所以不连续。
(4) 函数在某一点有极限，则该点一定有定义吗？有定义一定有极限吗？
不一定。根据函数极限的定义，可得函数在某一点有极限与在该点是否有定义并无关系。
不一定。比如分段函数。
(5) 有界的连续函数一定有极限吗？
不一定。比如三角函数s i n ( x ) sin(x)sin(x)。