求三角形外心坐标的两种方法

求三角形外心坐标的两种方法

三角形的外心是其外接圆的圆心，也是三角形三边垂直平分线的交点。本文将通过两个具体例子，详细介绍如何求解三角形的外心坐标。

求取三角形的外心并没有简单的公式可用。如果该三角形的三条边都不是水平线或垂直线，就只能从最基本定义入手，就是找当中两条边的垂直平分线（Perpendicular Bisector）。然后用联立方程的方法找其交点，亦即是外心的坐标。

例子1：求△ABC的外心坐标

Step 1) 求AB的垂直平分线的方程：

\begin{align*}
m_{AB} &= \frac{1-3}{1-6}\
&= \frac{2}{5}
\end{align*}

$$\begin{align*}
\text{Mid-point of AB} &= \Big (\frac{1+6}{2},\frac{1+3}{2}\Big )\
&= \Big (\frac{7}{2},2\Big )
\end{align*}$$

Equation of perpendicular bisector of AB

AB的垂直平分线的方程

$$\begin{align*}
y-2 &= \frac{-1}{\frac{2}{5}}(x-\frac{7}{2})\[4pt] y-2 &= \frac{-5}{2}(x-\frac{7}{2})\
2y-4 &= -5x + \frac{35}{2}\
5x+2y&=4+\frac{35}{2}\
10x+4y&=43\ …(1)
\end{align*}$$

Step 2) 用相同方法求AC的垂直平分线的方程：

$$2x+8y=27\ …(2)$$

Step 3) 解联立方程

$$\begin{cases} 10x+4y &= 43 \ 2x + 8y &= 27 \end{cases}$$

$$ x=\frac{59}{18},\ y=\frac{23}{9}$$

△ABC的外心 = $\big ( \large \frac{59}{18} \normalsize,\large \frac{23}{9} \normalsize \big )$

例子2：当三角形的其中一条边是水平线或垂直线的情况

由于线段AB是水平线，其垂直平分线（perpendicular bisector）可轻易求得。

$$\begin{align*}
x &= \frac{3+9}{2}\[4pt] x &= 6
\end{align*}$$

△ABC的外心必定在x=6这直线上，换句话说，其x坐标=6。由于三角形的外心亦是其外接圆（circumcircle）的圆心，基于这性质，我们知道外心和三角形的顶点的距离相等，该距离亦即是圆形半径长度。由此可求得外心的y坐标。

设外心坐标为O(6,k)。

$$\begin{align*}
OA &= OC\
\sqrt{(3-6)^2+(2-k)^2} &= \sqrt{(4-6)^2+(5-k)^2}\
9 + 4 -4k + k^2 &= 4 + 25 -10k +k^2\
13 -4k &= 29 – 10k\
6k &= 16\
k &=\frac{8}{3}
\end{align*}$$

△ABC的外心 = $\big (6,\large \frac{8}{3} \normalsize \big )$

分类:几何、坐标及三角学