常微分方程模型及分析——Lanchester战斗模型
常微分方程模型及分析——Lanchester战斗模型
Lanchester战斗模型是数学建模在军事领域的重要应用之一，通过建立常微分方程模型来分析和预测战斗过程中的兵力变化。本文将详细介绍Lanchester战斗模型在常规战和游击战中的应用，并通过数学推导和分析，揭示不同战斗模式下的胜负规律。
来源是西电2024数学建模双创课中《常微分方程模型及分析》的作业。
题目：在第一次世界大战中，甲、乙两方战役的胜负，往往由双方兵力多少及战斗力强弱两个因素决定，其中，兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加;战斗力与射击次数及命中率有关。请按照正规战争和游击战争两类情况应用常微分方程进行建模，分析并预测战役结局。
分析：根据Lanchester战斗模型，记甲、乙两方兵力分别为关于时间
的函数
和
，并且连续可导。显然有“战斗力的变化率＝后勤补给率－自然损失率（非战斗减员）－对方的杀伤率（战斗减员）”。
常规战
常规战模型及其解
讨论常规战下的模型
其中a,e分别为甲和乙的自然损失率，其中b,c分别为乙和甲的杀伤率，P(t),Q(t)分别为甲和乙的后勤补给率。为简化，不妨假设P(t)=p,Q(t)=q分别为一常数。
下面简要描述一下求解以下常微分非自治线性方程组的过程：
先求解对应的齐次方程组
计算特征方程：
展开行列式，得到特征方程：
使用求根公式求解二次方程：
根据特征根，齐次方程组的通解为：
其中
和
是任意常数。
接着寻找非齐次方程组的特解，假设特解的形式为常数向量：
代入非齐次方程组，得到：
解这个线性方程组，得到特解：
构造非齐次方程组的通解，非齐次方程组的通解是齐次解与特解之和：
因此，原方程组的通解为：
常规战的平方率
为分析射击次数及命中率对战局的影响，采取简化模型
两式相除，得
得
有
记射击率为
，命中率为
，则有
综合所有因素考虑，可以得到结论：常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比，且此比值平方放大，具体如图：
游击战
游击战模型
其中a,e分别为甲和乙的自然损失率，其中g,h分别为乙和甲的杀伤率，P(t),Q(t)分别为甲和乙的后勤补给率。
与常规战模型比较，最显著的特征是游击战的战斗伤亡率和自身部队战斗力正相关。
游击战的线性率
同样，只考虑战斗减员，简化模型为
相除，交叉相乘得
得
进一步有
其中
，里面
为射击率、
一次射击的有效面积、
为游击队员的活动面积，即：
结论：战前力量对比与队员活动面积对比同样重要，如图：
其他：游击队VS常规部队
游击队VS常规部队模型
其中a,e分别为甲和乙的自然损失率，其中g,c分别为乙和甲的杀伤率，P(t),Q(t)分别为甲和乙的后勤补给率。
游击队VS常规部队的抛物律
简化模型为
同理推得
其中
，里面
为射击率、
一次射击的有效面积、
为游击队员的活动面积，即：
结论：该模型适合以弱胜强。如图所示：
总结
常规战胜负取决于开战前力量(人数)对比，且此比值平方放大，具有集中优势兵力(如三大战役)；游击战战前力量对比与队员活动面积对比同样重要；当游击队与常规部队交战时，更有利于以弱胜强。
本文原文来自CSDN