射影几何中的帕普斯定理和帕斯卡定理证明
射影几何中的帕普斯定理和帕斯卡定理证明
射影几何是数学中的一个重要分支，它研究图形在投影变换下的不变性质。帕普斯定理和帕斯卡定理是射影几何中的两个基本定理，它们揭示了图形在投影变换下的重要性质。本文将围绕这两个定理的证明，以及与之相关的其它知识进行发掘，组成关联知识，进行一举阐述。
一、说明
帕普斯定理是射影几何的基本性质，也是理论基础；与帕普斯类似的是帕斯卡定理，本篇围绕此二定理的证明，以及与之相关的其它知识进行发掘，组成关联知识，进行一举阐述。
二、交比定理
2.1 交比的最一般性质
【引理1】这里三条并发的直线 AB、AG 和 AD 与两条线 JB 和 JE 相交，B 和 JE交点在 J 处。 过J点绘制与 AZ平行线，此平行线交AD于K，交AB于L。证明，交比（ J G ; B D ） = K J / J L （JG;BD）=KJ/JL（JG;BD）=KJ/JL,有如下图 。
证明：
上图中。存在相似三角形KJD和AGD；JKB和GAB；
K J A G = J D G D \frac{KJ}{AG}=\frac{JD}{GD}AGKJ =GDJD
以及
J L A G = J B B G \frac{JL}{AG}=\frac{JB}{BG}AGJL =BGJB
因此；K J J L = J D G D J B B G \frac{KJ}{JL}= \frac{\frac{JD}{GD}} {\frac{JB}{BG}}JLKJ =BGJB GDJD
KJ/JL = （KJ/AG）（AG/JL） = （JD/GD）（BG/JB）。
最后一个复合比（即JD：GD和BG：JB）是今天所称的共线点J，G，D和B的交叉比。今天用（J，G;D，B）。因此，我们已经证明，这与选择与在 A 处重合的三条直线的特定直线 JD 无关。特别地
（ J ， G ; D ， B ） = （ J ， Z ; H ， E ） （J，G;D， B） = （J， Z;H，E）（J，G;D，B）=（J，Z;H，E）。
直线 JE 落在 A 的哪一边并不重要。具体而言，情况可能如下图所示.。
2.2 对顶映射的交比
直线 JE 落在 A 的哪一边并不重要。具体而言，情况可能如下图所示，这是引理 X 的图表。
过J做ZG的平行线，与HA交于L；与AB交于K；
和以前一样，我们有Δ J L D ∼ Δ G A D \Delta JLD \sim \Delta GADΔJLD∼ΔGAD;Δ J K B ∼ Δ G A B \Delta JKB \sim \Delta GABΔJKB∼ΔGAB;
因此：
K J A G = J B B G \frac{KJ}{AG}= \frac{JB}{BG}AGKJ =BGJB
J L A G = J D D G \frac{JL}{AG}= \frac{JD}{DG}AGJL =DGJD
K J J L = J D G D J B B G \frac{KJ}{JL}= \frac{\frac{JD}{GD}} {\frac{JB}{BG}}JLKJ =BGJB GDJD
Pappus 没有明确证明这一点;但引理 X 是相反的，即如果这两个交叉比相同，并且直线 BE 和 DH 在 A 处交叉，那么点 G、A 和 Z 必须是共线的。
2.3 被割线与发射线平行
依旧是A点线束AB，AG，AD，交l1于ZHD，交l2于BG∞，因而，交比（EZ;HD）=(RB;G∞)
延长EG如图：
有（EZ;HD）=(RB;G∞)；这种情况有时碰到，但很难观察出。
三、帕普斯（Pappus）定理
3.1 Pappus小传
公元4世纪，希腊数学已经式微。公元前146年亚历山大被罗马人占领，公元后，学者们的兴趣转向天文应用，这个时期出现梅涅劳斯、托勒密等大师在三角学上有所建树，理论几何的活力逐渐凋萎。此时亚历山大的帕普斯努力总结数百年来的前人所取得的成果，避免其失传。
约公元 290 年 – 约 350年）帕普斯是一位古代晚期的希腊数学家（时间上相当于我国秦汉时期）。以其犹太教堂或集合 而闻名，以及射影几何中的帕普斯六边形定理。除了在他自己的著作中可以找到的内容外，我们对他的生活几乎一无所知，其中许多著作都已丢失。帕普斯显然住在亚历山大，他是一名数学老师，教授高年级学生，比如赫莫多鲁斯。
帕普斯那个时代存在的几何著作综述评论和指南，其中包括帕普斯自己的著作，写成八卷的《数学汇编》。其中应用和参考了三十多位古代数学家的著作，传播了大批原始命题及其进展、扩展和历史注释。由于许多原著已经散失，《数学汇编》便成为了解这些著作的唯一源泉，是名副其实的几何宝库。
3.2 Pappus定理和证明
【定理】直线l 1 l_1l1 上依次有点A , B , C A,B,CA,B,C，直线l 2 l_2l2 上依次有点A ’ , B ‘ , C ’ A’,B‘,C’A’,B‘,C’，连接AB‘,A’B交于N，连接AC‘和A’C交于M，连接B‘C和BC’交于L，试试证明：N，M，L共线。
证明：延长直线A B C ABCABC，延长直线A ’ , B ‘ , C ’ A’,B‘,C’A’,B‘,C’，使得它们交于点O；如下图：
从A看去：
See（A）= {（A‘B’C‘O）,（A’NJB） }
从C看去：
See（C）= {（A‘B’C‘O）,（KLC’B） }
因为交比传递后，{（A’NJB），（KLC’B） }在一个射影线束内，设射影点为X，所以：
See(X) = {（A’NJB）,（KLC’B） }
所以：对应点连城直线，且交于一点X，A‘K，NL，JC’ ，（BB）当交于一点，因为BB未成直线，所以，A‘K，NL，JC’ 三线交于一点，因为 A‘K，交JC’ 于M，NL线也将交于M，因此，X就是M，NML三点共线。【证毕】
【引理】三条线线束分割两条线束，两条线束上存在相同交比。
四、赛瓦（Ceva）定理及其角元形式
Ceva定理：在Δ A B C \Delta ABCΔABC中，若三条直线A D , B E , C F AD,BE,CFAD,BE,CF共点，并记这三条直线与三角形三边分别交于D , E , F D,E,FD,E,F，那么B D D C C E E A A F F B = 1 \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1DCBD EACE FBAF =1
证明：如图，做垂线，和公共底边
有；B D D C = S Δ A O B S Δ A O C \frac{BD}{DC}=\frac{S_{\Delta {AOB}}}{S_{\Delta AOC}}DCBD =SΔAOC SΔAOB
C E E A = S Δ C O B S Δ A O B \frac{CE}{EA}=\frac{S_{\Delta {COB}}}{S_{\Delta AOB}}EACE =SΔAOB SΔCOB
A F F B = S Δ A O C S Δ B O C \frac{AF}{FB}=\frac{S_{\Delta {AOC}}}{S_{\Delta BOC}}FBAF =SΔBOC SΔAOC
将它们连乘可得到：B D D C C E E A A F F B = 1 \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1DCBD EACE FBAF =1
【证毕】
五、Pascal定理及其证明
5.1 Pascal定理
Pascal定理：二次曲线（包含退化的二次曲线）内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线。（如图）
5.1 Pascal定理证明
证明：利用射影几何的知识，可以证明，只要Pascal定理的二次曲线为圆的情形时，命题成立，那么Pascal定理成立。（对于其它圆锥曲线情况，可以通过对圆透视变换得到相同结果）
欲证 PQR 三点共线，可以采取同一法，转而证明 PQ，AF，CD 三线共点，即证明：
根据圆周角定理，我们知道