匀变速直线运动的位移与时间的关系

匀变速直线运动的位移与时间的关系

匀变速直线运动的位移与时间关系是高中物理必修1中的重点和难点。本文通过对比匀速直线运动，采用图像分割的方法，直观地展示了位移与时间关系式的推导过程。

本节是必修1中最难理解的一节。我们要探究的是匀变速直线运动的位移与时间的关系式，即：

$$
x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$$

是如何推导出来的？

我们现从匀速直线运动开始。匀速直线运动速度不变，因此其位移公式为：

$$
x = v t
$$

匀速直线运动位移的速度与时间图象如图所示：

显然，图中的阴影部分面积表示的即为位移大小。

怎样来计算做匀变速直线运动物体在一段时间内通过的位移呢？它的位移与其v~t图象是不是存在着类似的关系呢？

匀变速直线运动的图像如图所示，我们可以把这个图像分割为如下的结构：

这样，我们可以近似用图示的五个矩形面积之和来近似的表示位移。

是的，这五段位移之和（阴影面积之和）与实际情况相差很大。

如果我们继续分割，就会得到如下图所示的结果。

如果无限的分割下去，那么这些矩形的面积之和，就非常接近于（等于）梯形面积。

而这无限个小矩形，把匀变速直线运动进行了无限次分割。而每一个小段因为划分的太小，其位移大小便于匀速直线运动位移大小非常逼近了。

这就说明这样的问题，这时无限个小矩形汇总起来就连成一个梯形。

这个梯形的面积就能表示小车通过的位移了。

通过几何知识运算，不难得出：

$$
x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$$

这就是位移关系式的推导。具体的推导过程，必修一并没有严格的要求，知识了解即可。对于高考复习的同学，由于已经学过微积分，这里知识必须彻底掌握。