为什么矩阵特征值之和等于主对角线元素之和，特征值乘积等于行列式值

为什么矩阵特征值之和等于主对角线元素之和，特征值乘积等于行列式值

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/hbu_pig/article/details/142218109

矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的核心概念，在机器学习、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。本文将从特征值和特征向量的定义出发，证明两个重要的性质：矩阵特征值之和等于主对角线元素之和，特征值乘积等于行列式值。

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式
Ax=λx （1）
成立，那么数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
（1）式也可写成
（A-λE）x=0 （2）
这是n个方程n个未知数的线性方程组，他有非零解的充要条件是系数行列式
|A-λE|=0 （3）
即
其左端|A-λE|是关于λ的n次多项式，记做f(λ),称为方阵A的特征多项式。

证明对角线元素之和为矩阵的迹（特征值之和）：

由特征多项式知，

的系数为
由行列式知，其n！的项中只有主对角线连乘这一项中包含
，
的系数为
，证毕。

证明特征值之积为行列式的值：

由特征多项式知，
为不含
的常数项。
不妨设
=0，代入行列式中，可得出常数项为|A|，证毕。