坐标系类型及其简介
坐标系类型及其简介
坐标系是数学和物理学中描述空间位置的重要工具。从简单的平面直角坐标系到复杂的球坐标系，不同的坐标系适用于不同的应用场景。本文将系统地介绍几种常见的坐标系类型及其基本概念，帮助读者建立对坐标系的全面理解。
一、平面直角坐标系
平面直角坐标系通过点和坐标系（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合。
如上图，每一个点对应坐标系上的一个有序实数对；方程 $y = x^2 \quad x\in[-2,2]$ 对应上述图像。
平面直角坐标系中的伸缩变换定义如下：
设点 $P(x,y)$ 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
$$
\phi: \left{
\begin{aligned}
&x'=\lambda \cdot x\quad \lambda>0\
&y'=\mu \cdot y \quad \mu>0
\end{aligned}
\right.
$$
的作用下，点 $P(x,y)$ 对应到点 $P'=(x',y')$，称 $\phi$ 为平面直角系中的坐标伸缩变换。具体的，
- 当 $\mu > 1$ 或 $\lambda > 1$ 表现为远离中心轴拉长；
- 当 $\mu = 1$ 或 $\lambda = 1$ 保持不变；
- 当 $\mu < 1$ 或 $\lambda < 1$ 表现为聚拢中心轴压缩。
二、极坐标系
如下图，在平面内任取一定点 $O$，叫做极点；自极点 $O$ 引一条射线 $Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。
设 $M$ 是平面内一点，极点 $O$ 与点 $M$ 的距离 $|OM|$ 叫做点 $M$ 的极径，记为 $\rho$；以 $Ox$ 为始边，射线 $OM$ 为终边的角 $xOM$ 叫做 $M$ 的极角，记为 $\theta$。有序实对 $(\rho,\theta)$ 叫做 $M$ 的极坐标，记为 $M(\rho,\theta)$。
极坐标和直角坐标之间的互化公式如下：
由三角函数知识有以下转化公式：
极坐标转直角坐标
$$
x=\rho cos\theta\quad y=\rho sin\theta
$$直角坐标转极坐标
$$
\rho^2=x^2+y^2 \quad tan\theta=\frac{y}{x}\quad x\ne0
$$
三、简单的极坐标方程
3.1 圆
- 半径为 $a$，圆心为 $C(a,0)$ 的圆，若极点在直角坐标原点，则极坐标系是：$\rho=2a cos\theta$；
- 半径为 $a$，圆心为 $C(0,a)$ 的圆，若极点在直角坐标原点，则极坐标系是：$\rho=2a sin\theta$；
- 半径为 $a$ 的圆，若极点在圆心 $C$ 则极坐标系是：$\rho=a$。
可见，极点与圆心的关系会影响极坐标方程的复杂度。
3.2 直线
极坐标方程的目标就是根据几何关系找到 $\rho$ 与 $\theta$ 的关系。在描述一条直线时，直角坐标系角度下，我们试图找到一个方程使得所有的 $x$ 和 $y$ 都满足一个关系，这个关系可以抽象为 $f(x,y)=0$；同样的，极坐标角度下，我们应该找到一个方程满足 $f(\rho,\theta)=0$。在高中课本有一个这样的描述：“在平面直角坐标系下，平面曲线 $C$ 可以用方程 $f(x,y)=0$ 表示。曲线和方程满足如下关系：
- 曲线 $C$ 上点的坐标都是方程 $f(x,y)=0$ 上的解；
- 以方程 $f(x,y)=0$ 的解为坐标的点都在曲线 $C$ 上。”
实现了数形的结合。不得不佩服笛卡尔，开创了解析几何。原本科学家的研究是建立在数的基础上，数之间的关系直接因为笛卡尔得到了释放。这里有一篇文章讲的挺清晰的：https://zhuanlan.zhihu.com/p/55877974
四、柱坐标系和球坐标系
4.1 柱坐标系（半极坐标系）
如上图，建立直角坐标系 $Oxyz$。设 $P$ 是空间上一点。它在 $Oxy$ 平面上的投影为 $Q$，用 $(\rho,\theta) \quad(\rho\ge0,0\le\theta<2\pi)$ 表示 $Q$ 在平面上的极坐标，这时点 $P$ 的位置可以用 $(\rho,\theta,z) \quad (z\in R)$，这样我们建立了空间点与有序实数组 $(\rho,\theta,z)$ 之间的一种对应关系。把建立在上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序实数组 $(\rho,\theta,z)$ 叫做 $P$ 点的柱坐标，记作 $P(\rho,\theta,z)$，其中 $\rho\ge0,0\le\theta<2\pi,-\infty< z <+\infty$。
空间点 $P$ 直角坐标系 $(x,y,z)$ 与柱坐标系 $(\rho,\theta,z)$ 之间的变换关系为：
$$
\left{
\begin{aligned}
&x=\rho cos\theta \
&y=\rho sin\theta \
&z=z\
\end{aligned}
\right.
$$
4.2 球坐标系
如上图，建立空间直角坐标系 $Oxyz$。设 $P$ 是空间上一点，连接 $OP$，记 $|OP|=r$，$OP$ 与 $Oz$ 轴正向夹角为 $\phi$。设 $P$ 在 $Oxy$ 平面上的射影为 $Q$，$Ox$ 轴按逆时针方向旋转刀 $OQ$ 时转过的最小正角为 $\theta$。这样点 $P$ 的位置就可以用有序数组 $(r,\phi,\theta)$ 表示。这样空间上的点与有序数组 $(r,\phi,\theta)$ 建立了一种对应关系。把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组 $(r,\phi,\theta)$ 叫做 $P$ 的球坐标，记作 $P(r,\phi,\theta)$，其中 $r\ge0，0\le\phi\le\pi，0\le\theta\le 2\pi$。测量中，把 $\theta$ 称为被测点的方位角，$90-\phi$ 称为高低角。