90后北大校友破解挂谷猜想，陶哲轩激动转发！网友：预定菲尔兹奖
90后北大校友破解挂谷猜想，陶哲轩激动转发！网友：预定菲尔兹奖
近日，数学界迎来了一项重大突破：困扰数学家上百年的经典难题——Kakeya猜想，在三维空间中被证明。证明者是北京大学校友王虹与哥伦比亚大学数学副教授Joshua Zahl。这一成果不仅在数学领域引起了广泛关注，也让王虹成为了22届菲尔兹奖的热门候选人。
Kakeya猜想：数学领域的经典难题
Kakeya猜想由日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，也被称为挂谷猜想。这个问题的原型是：
一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？
转换成数学表达即为：当一根无限细的针向所有可能的方向旋转时，可以扫过的最小面积是多少？
数学家将这些排列称为Kakeya集，在三维空间中，Kakeya集包含了从所有方向都能看到的一根短线（单位长度的线段），而三维Kakeya猜想断言：即使Kakeya集（R3）可能看起来非常稀疏，因为它们是由一系列的线段轨迹组成的，但其Minkowski维度和Hausdorff维度都等于3。
其中Minkowski维度也被称为“盒子维度”，通过不断缩小覆盖Kakeya集的结构（如使用盒子或球体），可以计算出在不同尺度下覆盖集合所需的数量与尺度大小的关系。
而Hausdorff维度则更精细，它考虑了更细致的覆盖方式，允许使用不同大小和形状的集合来覆盖Kakeya集，并通过这些覆盖的最小化程度来定义维度。
当这两个维度均为3，从数学的角度来看，这些集合在几何上与整个三维空间相同，它们在某种意义上填满了空间的大部分。换句话说，尽管这些集合的外观可能非常稀疏，但它们实际上在几何上具有与整个空间相同的 “体积” 或 “大小”。
以上说法转换成数学表达式如下：使用小尺度参数（0<��<1），考虑一个由��x��x1的管子组成的集合��。这里的管子可以看作是一种细长的三维几何体，其横截面是边长为��的正方形，长度为1。集合��中的管子数量大致为≈��-2，并且这些管子的指向是在一个��-分离的集合方向上。所谓��-分离，意味着任意两个管子的方向之间的夹角至少为��。通过这样的方式，将连续的、复杂的Kakeya集问题，转化为对这些离散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。
而猜想在这种离散化情况下，这些管子的并集U��∊����的体积应该大约为1。
为了简化证明过程，论文引入了几种简化假设。例如，假设管集合是“粘性的”，即它们在多个尺度上保持相似的结构。
基于此，该领域先前研究集中于形式为下界的研究（集合的最小可能维数）：
具体而言，在三维空间中，对于各种介于 (0 < d < 3) 之间的维数，人们期望d尽可能大。早期研究中，人们陆续证明了d=1（仅考虑单管）、d=2（结合L2论证与线相交性质）、d=2.5（1995年Wolff梳子论证）的情况。
对维度参数d进行归纳
直到最近，王虹、Joshua Zahl二人证明了d=3的情况。
概括而言，他们采用的证明策略十分复杂，通过引入非聚集条件、Wolff公理、多尺度分析等技术来进行了一系列论证。
这里我们直接看陶哲轩帮忙总结的关键技术环节：他们证明的总体思路是对维度参数d进行归纳。他们先定义了一种情况K(d)，目标是通过数学推导，证明对于处于一定范围的维度参数d，存在一种能从K(d)推导出K(d+��)的关系，其中��是一个大于0且和d有关的数。PS：K(d)是指对于所有尺寸为��x��x1、方向为��分隔的约��-2个管子的配置，不等式（1）成立。
通过不断重复这个推导过程，让维度参数d逐渐接近3。具体来说，他们核心使用多尺度分析技术，对于管子的集合及其组织结构进行了深入研究。他们对粗细管进行了分组，并将细管组合成粗管。因为细管的方向具有特定的分布性质，所以每个粗管能容纳的细管数量是有限的，相应地，要覆盖所有细管就需要一定数量的粗管。然后，基于K(d)定义下的不等式，他们计算出了粗管的总体积下限，再结合之前计算粗管总体积的方法和结果，进一步分析出了粗管的一个特殊属性—— “多重性”。这是指在粗管占据的空间里，管子分布的一种密集程度或重叠程度。接下来，通过对粗管里的细管进行缩放，并再次结合K(d)定义下的不等式，他们得出了缩放之后细管的多重性。综合上述粗管和细管多重性的信息，理论上就能得出所有细管集合的多重性范围。结果是，在一种叫做 “粘性”（sticky）的特殊情况下，他们发现得到的结果和一开始想要证明的不等式相符。这里补充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此紧密贴合，形成了所谓的 “发际”（hairbrush）结构。另外，在处理非粘性情况时，他们引入了 “粒状化”（graininess）理论，这是对集合内部结构的一种描述，它可以帮助理解集合如何在不同尺度上组织。由于在 “非粘性” 情况下，粗管和细管的配置出现了不平衡，没办法直接使用前面的K(d)，于是他们考虑了一个特殊集合（加厚的Kakeya集）和一个球的相交情况。如果K(d)成立，那么这个特殊集合可能会表现得像某种维度的分形；要是这个特殊集合在某个尺度下比预期的更密集，结合这个特殊集合的邻域体积和球的体积进行分析，就能得到一个新的结论。而这个结论就是他们期望证明的K(d+��)，这个特殊的密集情况也被看作是一种“Frostman测度违反”。除此之外，研究还涉及到了对 “Katz-Tao Convex Wolff axioms” 的应用，这是一组描述管子集合行为的假设，它们在证明中作为归纳假设使用。更多细节可查看原论文。
16岁考入北大，转专业来到数学系
这项研究的作者一共只有两位：王虹和Joshua Zahl。
其中北大校友王虹目前是纽约大学数学系副教授。她1991年出生于广西桂林平乐县，小学期间连跳两级，16岁时以653分考入北京大学地球与空间物理系，后转入数学系，2011年获得学士学位。2014年获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019年博士毕业于麻省理工大学，师从Larry Guth。2019-2021年是普林斯顿高等研究院的博士后成员；2021-2023年在加州大学洛杉矶分校担任助理教授。主要的研究方向为傅里叶变换相关问题。例如，如果我们知道一个函数的傅里叶变换在某些曲线物体上有定义，比如球面，或者在一些“弯曲”的离散点集合上有定义，那我们可以对这个函数做出什么样的判断？如何以一种有意义的方式将这个函数分解成若干部分（这与解耦理论有关）？事实证明，这类问题还与Falconer距离问题和交点几何学有关，我对这些关联也很感兴趣。
另一位作者为Joshua Zahl。他现在是不列颠哥伦比亚大学数学系副教授。主要研究方向为古典傅里叶分析和组合学。对交点几何学、限制问题和Kakeya问题非常感兴趣。
论文：
https://arxiv.org/abs/2502.17655
参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631
[2]https://sites.google.com/view/hongwang/home
[3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/
[4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml