傅里叶变换，拉普拉斯变换，卷积 & 卷积定理（核心原理）
傅里叶变换，拉普拉斯变换，卷积 & 卷积定理（核心原理）
傅里叶变换、拉普拉斯变换和卷积是信号处理和系统分析中的核心工具。本文将从基础概念出发，深入探讨这些变换的核心原理及其应用，帮助读者建立坚实的理论基础。
开胃小菜（收敛性）
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频率域信号的数学变换，它能够揭示信号的频率成分。拉普拉斯变换是傅里叶变换的一种推广形式，用于线性常微分方程的求解。卷积是一种积分运算，常用于信号处理中，表示一个信号对另一个信号的响应。卷积定理指出，两个信号的卷积在时间域等价于它们在频域的乘积。
收敛性定义
狄利赫利条件：
- (𝑓(𝑥))绝对可积，即
- 在任何有限区间内，(𝑓(𝑥))只有有限个最大值和最小值。
- 在任何有限区间内，(𝑓(𝑥))有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。
一、傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将一个时间域信号转换为其频域表示的方法，它能够将信号分解成不同的频率成分。傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）则是将频域表示的信号重新转换回时间域的过程。傅里叶变换和其逆变换在信号处理、图像处理、通信、物理学等领域有着广泛的应用。
核心原理
连续周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦波的线性叠加
定义
连续时间信号
对于一个连续的时间域信号(𝑓(𝑡))，其傅里叶变换(𝐹(𝜔))定义为：
其中，(𝑖)是虚数单位，(𝜔)是角频率。
傅里叶逆变换是用来从频域表示恢复到时间域信号的过程，定义为：
离散时间信号（了解）
傅里叶变换是一种数学技术，用于将一个函数（如时间信号）表示为不同频率的正弦波和余弦波的组合。对于时间信号(𝑓(𝑡))，其离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：
其中，(N)是采样点的数量，(𝑇)是采样周期，(𝜔)是角频率，(𝑘)是从(0)到(𝑁−1)的整数，(𝑗)是虚数单位，(𝑓(𝑛𝑇))是时间信号在时间点(𝑛𝑇)的值
逆傅里叶变换则是从频域回到时域的过程。对于离散情况，逆DFT为：
逆傅里叶变换的物理意义就是将信号从频域变回时域。在数字信号处理中，快速傅里叶变换（FFT）算法被广泛用来计算DFT，因为它极大地减少了所需的计算量。
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期函数表示为其不同频率成分的数学工具。它通过将函数展开成无限个正弦和余弦函数的和来实现这一点。如果一个函数(𝑓(𝑥))在区间(2𝜋)上是周期性的，即
那么它可以表示为：
其中，(𝑎0)，(𝑎𝑛)，和(𝑏𝑛)是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：
这些系数决定了函数在每个频率成分上的权重。通过计算这些系数，我们可以了解函数在不同频率上的分布情况。
傅氏变换缺陷
傅氏变换是建立在傅氏积分基础上的，一个函数除要满足狄氏条件外，还要在((-∞,+∞))上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。而绝对可积是一个相当强的条件，即使是一些很简单的函数（如线性函数，正弦与余弦函数等），都不满足此条件。引人δ函数后，傅氏变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但对于以指数级增长的函数仍无能为力。另外，傅氏变换必须在整个实轴上有定义。但在工程实际问题中，许多以时间(t)作为自变量的函数，在(t<0)时是无意义的，或者是不需要考虑的。因此在使用傅氏变换处理问题时，具有一定的局限性。
二、拉普拉斯变换
为了解决傅里叶变换这些问题，拉普拉斯变换应运而生，既具有类似于傅氏变换的性质，又能克服以上的不足。
拉普拉斯变换定义
设函数(𝑓(𝑡))在(t ≥ 0)时有定义，且积分
在复平面(𝑠)的某一区域内收敛，则有拉普拉斯变换：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯变换存在条件
（第(2) 点了解）
拉普拉斯变换的存在定理 若函数(𝑓(𝑡))满足下列条件：
(1) 在(𝑡 ≥ 0)的任一有限区间上连续或分段连续；
(2) 当(𝑡→ +∞)时，(𝑓(𝑡))的增长速度不超过某一指数函数，即存在(M > 0)和(c ≥ 0)使得
则(𝑓(𝑡))的拉普拉斯变换(𝐹(𝑠))在半平面(Re(s)>c)上一定存在，右端的积分在(Re( s ) ≥ c1 > c)上绝对收敛而且一致收敛，并且在(Re(s) > c)的半平面内，(𝐹(𝑠))为解析函数。(c)称为(𝑓(𝑡))的增长指数。
三、卷积 & 卷积定理
卷积定义
卷积是信号处理中的一种基本操作，用于计算两个信号之间的相互影响或混合效果。在数学上，它是通过一种特定的积分或求和方式来定义的，具体取决于信号是离散的，还是连续的。
离散时间信号（了解）
对于两个离散时间信号(𝑓[𝑛])和(𝑔[𝑛])，它们的卷积(ℎ[𝑛])定义为：
这里的求和是对所有可能的 (𝑚)值进行的，其中(𝑛)是卷积结果的索引。
离散卷积广泛应用于数字信号处理、图像处理等领域，用于模拟和分析离散时间系统的行为。
连续时间信号（重点）
对于连续时间信号(𝑓(𝑡))和(𝑔(𝑡))，它们的卷积(ℎ(𝑡))定义为
这里，(𝜏)是积分中的变量，表示时间上的推迟。
卷积运算在信号处理中非常重要，因为它描述了系统对输入信号的响应如何随着时间演变。例如，在滤波器设计中，卷积用于计算输出信号如何由输入信号和系统响应决定。
卷积定理
卷积定理是傅里叶分析中的一个重要结果，它表明在时域中的卷积等价于频域中的乘积。具体来说，如果(𝑓(𝑡))和(𝑔(𝑡))是两个连续时间信号，它们的傅里叶变换分别为(𝐹(𝜔))和(𝐺(𝜔))，那么这两个信号卷积的结果(ℎ(𝑡)=(𝑓∗𝑔)(𝑡))的傅里叶变换(𝐻(𝜔))满足
同样地，在离散时间信号处理中，对于信号(𝑓[𝑛])和(𝑔[𝑛])的卷积(ℎ[𝑛])，它们的离散时间傅里叶变换（DTFT）也满足
卷积定理是信号处理和通信理论中的基础，它提供了解决时域和频域问题之间转换的关键联系。