从模糊描述到严格定义——函数概念知多少？

从模糊描述到严格定义——函数概念知多少？

函数是数学中最基本、最重要的概念之一。从古希腊时期对变量关系的初步认识，到17世纪微积分的发明，再到19世纪集合论的建立，函数概念经历了从模糊到严格定义的演变过程。本文将带你回顾这一重要数学概念的发展历程。

函数是数学中最基本、最重要的概念之一。在八年级的数学教材中，函数的定义通常是从变量之间的关系出发逐步引入的，强调了定义域、值域和对应关系三大要素。在当前本科生的数学分析教材中，函数定义是这样的：“给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对每一个，都有唯一的与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:D→M，x↦y。”这个定义以集合论和映射的严格语言强调了函数的构成要素及对应关系的唯一性。

学生不禁要问，函数概念是什么时候，又是怎样提出来的，它经历了怎样的历史足迹，才达到如今严格定义呢？

在函数概念正式形成之前，数学文献中已经出现了一些与函数思想相关的记载。例如，古希腊数学家在研究几何图形的性质时，就涉及到变量之间的关系。中世纪时期，阿拉伯数学家也在代数研究中探讨了变量之间的依赖性。函数概念的雏形在中世纪才开始出现在科学文献中，14世纪法国数学家奥雷姆(N.Oresme，约1323—1382)用图线表示依时间t而变化的量x，并称t为“经度”，x为“纬度”，在平面上建立了点与点之间的对应，所给出的函数概念是模糊不清的。

17世纪，法国数学家笛卡尔（R. Descartes，1596-1650）和费马（P. de Fermat，1601-1665）创立了解析几何，将几何问题转化为代数方程。笛卡尔在《几何学》中提出了变量和方程的思想，认为曲线可以用方程表示，这标志着函数思想的萌芽。与此同时，牛顿（I.Newton，1643-1727）和莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646-1716）发明了微积分。他们在研究变化率和积分时，使用了“流量”和“函数”等术语。

莱布尼茨

“函数”作为数学术语是莱布尼茨首先采用的，他在1692年的论文中第一次提出“函数”(拉丁语functio)一词。起初他用函数表示x的幂（即x，x2，x3，…），后来又用函数表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量。现在一般把莱布尼茨引用的函数概念的最初形式看作是函数的第一个定义。把函数理解为幂的同义语，可以看作是函数概念的解析的起源；用函数表示某些几何量，可以看作是函数概念的几何的起源。

莱布尼茨的数学手稿

随着数学的发展，函数的定义不断地改进和明确。以下按时间顺序（括弧内为给出的时间）列举一些著名数学家给出的有代表性的函数概念的原始定义，从中我们可以看出函数的概念是如何随着数学的发展从模糊描述到严格定义的。

约翰·伯努利

约翰·伯努利（1718）：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以一定方式（解析表达式）构成的一种量”。

欧拉

欧拉（时间不详）：“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”。
欧拉（1748）：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”。
欧拉（1755）：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数”。

傅里叶

傅里叶（1822）:“一般地，函数f（x）代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标x的值，有同样多个纵坐标f（x）。所有的纵坐标都有具体的数值，或是正数，或是负数，或是零。我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律，它们以任意一种方式一个接一个地出现，其中的每一个都像是作为单独的量而给定的。”

柯西

柯西（1823）：“如果在一些变量之间有这样的关系，使得当其中之一的值被给定时，便可得出其他所有变量的值。此时，我们通常认为这些变量由它们之中的一个表出，于是这一个量被称为独立变量，其他被独立变量所表示的量就被称为这个变量的函数。”

狄利克雷

狄利克雷（1837）:“让我们假定a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。于是，如果对每个x，有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应：即当x连续地通过区间到达b时，y＝f（x）也类似的顺序变化，那么y被称为该区间中x的连续函数。而且，完全不必要求y在整个区间中按同一规律依赖于x，确实没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系。”他给出了著名的狄利克雷函数:

戴德金（1887）：“系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中每一个确定的元素s：都对应着一个确定的对象，它被称为s的映象，记作Ф（s）。我们也可以说，Ф（s）对应于元素s，Ф（s）由映射Ф作用于s而产生或导出；s经映射Ф变换成Ф（s）。”

从以上所列举的各种原始定义可以看出，函数概念是从莱布尼茨的几何定义开始的；到约翰·伯努利，函数概念从几何观念转向代数观念；在欧拉时代，函数是“一个变量对另一个变量的依赖性”，它可以是“显式的”，也可以是“隐式的”，还可以通过级数、积分表示，不再局限于具体的解析表达式；半个多世纪后，傅里叶定义的函数可以是“任意一种方式一个接一个地出现”，即可以是分段函数和不连续函数，函数概念得到进一步扩充；柯西的定义中包含了自变量和因变量的关系；狄利克雷的定义指出“完全不必要求y在整个区间中按同一规律依赖于x”，完全摆脱了解析表达式的束缚，他还强调了函数值的唯一性。到19世纪末，戴德金在集合论的基础上，把函数定义为一个集合到另一个集合的映射，给出了现代意义下函数的定义。

20世纪以来，函数概念又推广为诸如“两类数之间的一个对应”，“序偶的集合”，“任意两个集的对应关系”等等。现代数学中也用“变换”、“态射”等术语表示函数关系。如态射描述了两个数学结构之间的关系，可以是函数、映射或者变换。在范畴论中，态射不仅局限于集合和函数，还可以适用于更广泛的数学结构，如群、环等。如此等等，都体现了函数概念在现代数学中的重要性和广泛应用。