线性代数导学：点积与叉积的作用
线性代数导学：点积与叉积的作用
在线性代数中，点积和叉积是两个非常重要的运算，它们不仅在数学理论中占据核心地位，还在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本文将深入探讨点积和叉积的定义、计算方法及其实际应用，帮助读者建立对这两个概念的直观理解。
首先要有一种认知：向量可以表示一种运动，矩阵可以表示一种变换（旋转，缩放等等）。
二维平面上，一个向量（1，2）表示：某一个点向x轴正方向走了1个单位，向y轴正方向走了2个单位。向量有方向，有大小，在日常生活中，风，水，气流，力等等这些有方向有大小的事物，都可以用向量来表示。点积与叉积，就是向量之间的两种运算。
现在有两个向量
和
一. 做这两个向量的点积运算，可得
|a|与|b|表示向量ａ与向量ｂ的模长（即长度）。上面两个式子的计算结果是相同的（这一点网上有资料可以证明）。
从这里我们可以知道：两个向量点积的结果，是一个数。点积运算，做了降维，把向量变成了一个数（这里的向量是二维的，数是一维的，由二维变成了一维）。
点积的作用：可以判断两个向量是否垂直。可以判断两个向量之间，是促进作用，还是抑制作用。可以做投影。
这里先把ａｂ两个向量当成两个方向的力。
下面的图中，b向量向ａ向量做投影，得到ａ0向量，a0向量的方向与向量ａ相同，长度可由点积的公式求得：
二. 做这两个向量的叉积运算，可得到一个新的向量，记作向量ｃ
向量ｃ与向量ａ垂直的同时，也与向量ｂ垂直。即向量ｃ垂直于向量ａ与向量ｂ所在的平面。其方向符合右手螺旋定则：
或者这种形式
其大小等于向量ａ与向量ｂ所构成的平行四边形的面积(借用知乎小伙伴的一张图，侵删)，即
这里我们看到向量ａ与向量ｂ的叉积结果，生成了一个新的向量ｃ，且垂直与ａ与ｂ所构成的平面。叉积做了升维：ａｂｃ三个向量，构成了一个三维的体系。
叉积的作用：建立三维的直角坐标系，判断两个向量的相对方位（左还是右），判断点是否在三角形内。
设垂直于纸面向上（外）的方向，为正方向。根据右手螺旋定则。
当点P在三角形ABC内部时，如上图，根据右手螺旋法则：
三次叉积运算产生的向量方向一致，可判断：点P在三角形ABC的内部。
三次叉积运算产生的向量方向不一致，可判断：点P在三角形ABC的外部。
之所以要判断点与三角形的位置关系（内或外），是因为在对三维物体进行建模时，模型会由很多三角形所生成（称之为面片，mesh）。在处理mesh时，计算机要判断像素点是否在某一个mesh中，从而对该像素点进行着色。
三. 叉积的运算
点积的运算非常简单，叉积的运算也不是太难。
我们先来看一下二维向量的叉乘。
二维向量叉乘：可以判断左右，判断是否共线。
三维坐标下的叉积公式：
叉乘计算有一个口诀，可以快速的算出结果：
向量横着写两遍，掐头去尾留中间，叉乘相乘再相减，求得向量再化简。
看一下具体的解释：
最后一句：求得向量再化简，是指做归一化，使得最终得到的向量是一个单位向量。
总结：
通过点积与叉积运算，计算机可以根据其结果的正负，判断两个向量之间的相对方位（上，下，左，右）。
同时点积可以用来做投影，叉积可以用来建立三维直角坐标系。
参考资料：
Xmathy：高考前最后3分，爱要不要！
线性代数导学（六）：点积与叉积的作用 - 知乎 (zhihu.com)