图解微积分—格林公式

图解微积分—格林公式

本文将通过图解的方式，详细讲解微积分中的二重积分计算和格林公式的相关内容。对于对微积分有一定基础的读者，本文将帮助你更好地理解这些复杂的数学概念。

一、二重积分计算

仅仅从二重积分的定义，是很难计算出它的积分值，需要把二重积分转换到累次积分，最后通过定积分求解。

累次积分究竟是先x轴还是先y轴，可以从图像上分析：用竖线穿过被积分区域，竖线所平行的轴，就是累次积分中首先积分的轴。

上述过程用体积V的两种不同计算方式，用非证明的方式展示了二重积分与累次积分之间的联系：

• 二重积分：微小正方体累加求和
• 累次积分：切平面体累加求和

对于定义域D上的连续函数，有更好的性质：

直线穿过的是一个由y(x1)和y(x2)曲线封闭的区间，这个时候积分变为了：

严格的数学定理如下：

• x型区域
• y型区域

所有的二重积分，都是把定义域D,切割为x和y区域，将二重积分转化为累次积分进行求解。

如果一个区域中，一个x值对应了几个y值，那么这个区域被称为x型区域。

如果一个区域中，一个y值对应了几个x值，那么这个区域被称为y型区域。

在进行区域穿刺的时候，每条穿刺的直线，只能穿过至多2条曲线，如下图：

如果超过2条如下图：

但是如果穿刺的直线穿过超过2条曲线段，这时候就需要对被积分区域进行区域切割，保证每个区域的穿刺线只穿过2个条曲线段，再对切割后的区域分别进行积分：

二、格林公式

区域D上的二重积分与D的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联系。

什么是格林公式边界曲线的正方向？

正方向是假设有一个点A沿着定义域D边界移动，如果此时D的区域始终在A的左手边，这个方向就是边界点正方向。

从上图我们可以看到，对于同一个D区域中的多个边界线，它们的正方向是不一致的。外圈的正方向是逆时针方向，而内圈的正方向是顺时针方向。

从左边的二重积分看：

它是一个D区域内的二重积分：以D区域为底，以dQ/dx-dP/dy为曲面，包络而成的体积V。

从右边的曲线积分看：

积分符号上加一个空心圆圈，表示积分的曲线是闭合曲线。表示沿着D区域的边界做在x方向以力P(x,y)做功和在y方向以力Q(x,y)做功的总和。

两者等价的证明如下：

以下公式利用D区域的y区域(传过y轴做直线平行于x轴)

最难理解的是，下面公式是如何推导的：

对于第二类曲线积分熟悉的小伙伴，能一眼看出，这其实是曲线积分定义和曲线积分计算之间切换，本质就是：

计算第二类曲线积分->第二类曲线积分的定义。

复习以下第一类曲线积分和第二类曲线积分的差异：

第二类曲线积分
第一类曲线积分

既然是曲线积分，无论是第一类还是第二类一定和曲线的方程息息相关。用另外一种更为贴切的说法：曲线积分一定是沿着曲线进行的积分！

对于第一类曲线积分，和曲线参数方程的关系很容易从积分方程表达式的ds中看出:

ds=sqrt(φ^2(t)+ψ^2(t))
x=φ(t),y=ψ(t)是曲线的参数方程。

对于第二类曲线积分，只是从积分方程写法很容易误解它只是一个含有参数x不定积分，其实它的(x,y)点都是在CBE曲线上的,计算积分时候时候需要：

把x=φ(t),y=ψ(t)的曲线方程带入到Q(x,y)的x中去；
有时候x=φ(y),y=y，y本身就是曲线参数。

所以才有了两者的等价推导：

给出一个第二类曲线积分的例子：

不规则D区域的格林积分计算：

（1）需要切割的区域D

对于不规则定义域D，需要按照二重积分的区域切割法切割后分别按区域计算积分后相加：

（2）D区域中有边界

这也是最为有趣的辅助线，EC和CE的第二类曲线积分曲线正好抵消，绘制这样辅助线是为了保持积分号空心的闭环的曲线积分。

格林积分在诞生之初，是为了更方便的计算曲线积分。一般而言曲线积分的计算复杂度高于二重积分，有了两者的等价性，可以只计算定义域D下的二重积分即可。其在物理上应用及其广泛。