函数的可导性与连续性的关系

函数的可导性与连续性的关系

函数的可导性与连续性的关系

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函数的可导性与连续性的关系

定理 若函数 $f\left(x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处可导，则函数 $f\left(x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处必连续.

证明：若函数 $f\left(x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处可导，由定义得 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}={f}^{\prime }\left({x}_{0}\right)$ ， 因此，

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \mathrm{\Delta }x={f}^{\prime }\left({x}_{0}\right)\cdot 0=0$

根据连续函数的定义，故函数 $f\left(x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处必连续.

注意：

（1）该定理的逆命题不成立，即连续函数未必可导，如 $y=|x|$ ；

（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导。

下面这个图虽然不雅观，但是容易理解，一排共享单车放着，连续，可导关系

函数连续但是不可导举例

例1 求 $y=|x|$ 在 $x=0$ 的导数

解：对于函数 $y=|x|$, 在点 $x=0$ 处（见图2-8)，其图像如下：

根据导数的定义：

${f}^{\prime }\left(x\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|0+\mathrm{\Delta }x|-|0|}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }x|}{\mathrm{\Delta }x}$ ，

可以看到，当$x$从右侧趋近于零时，其值为1

当当$x$从左侧趋近于零时，其值为-1, 这表示当$x$趋近于零，其值不是唯一的（也就是不存在），所以，$y=|x|$ 在$x=0$处不可导（但是从图上看，他是连续的）。

结论1：如果函数图像由尖角，在该点不可导。

例2函数 $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ 在 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ 上连续，但在点 $x=0$ 处不可导。

这是 因为在点 $x=0$ 处有

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(0\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{\mathrm{\Delta }x}-0}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\mathrm{\Delta }x{\right)}^{-\frac{2}{3}}=+\mathrm{\infty }$

即导数为无穷大 (导数不存在). 从图形上看(见 图2-9)， 在该点处有与 $x$ 轴垂直的切线 $x=0$ .

从这里可以得到结论2：切线垂直$x$轴处不可导。事实上导数是切线的斜率，如果切线垂直$x$轴，则斜率为$\pi /2$, 但是$tan\frac{\pi }{2}$ 无意义。

例3设 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x\mathrm{sin}\frac{1}{x},& xe 0\\ 0,& x=0\end{array}$ 求在$x=0$ 导数。

解：由 $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}x\mathrm{sin}\frac{1}{x}=0$ ，

得 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续，由

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\mathrm{sin}\frac{1}{x}-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\mathrm{sin}\frac{1}{x}\text{不存在，}$

得 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处不可导。由图形可知

(见图2-10), 曲线在 $x=0$ 附近无限次震荡.