三角有理式积分详解

三角有理式积分详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_59711735/article/details/124643391

三角函数有理式积分是高等数学中的一个重要内容，涉及多种解题方法。本文将详细介绍三角函数有理式的定义及其六类主要解题方法，包括基于对称性的变换、万能公式、"1"的用处、倍半角的用处、两类三角函数相乘的积分以及 (sinx)^α (cosx)^β 的积分。

一、什么是三角函数有理式

三角函数和常数经过有限次四则运算得到的。

二、常用几类解题方法

1. 基于对称性的变换

• R（sinx，-cosx）= -R（sinx，cosx） 令t=sinx
• R（-sinx，cosx）= -R（sinx，cosx） 令t=cosx
• R（-sinx，-cosx）= R（sinx，cosx） 令t=tanx

2. 万能公式(实在无法解题再考虑使用)

令t = tan（x / 2）

• sinx = 2t / (1+t²)
• cosx = (1-t²) / (1+t²)
• dx = 2 / (1+t²) dt
• tanx = sinx/cosx=2t / (1-t²)

3. "1"的用处

• sin²x + cos²x = 1
• (sin²x + cos²x)^α = 1 （构造齐次式）
• sec²x = tan²x+1
• csc²x = cot²x+1

4. 倍半角的用处

• sin2x = 2sinxcosx
• cos2x = 2cos²x-1 = 1-2sin²x = cos²x-sin²x

5. ∫ sinαx sinβx dx ∫ sinαx cosβx dx ∫ cosαx cosβx dx

两类三角函数（1次幂）相乘 => 积化和差

如何巧记「积化和差」与「和差化积」公式？---知乎

6. ∫ (sinx)^α (cosx)^β dx

①α，β至少有一个奇数 => 谁为奇数，就将谁往dx里凑

②α，β都为偶数（将次）