天为什么是蓝色——纯正的天蓝色是什么样的？

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@小白创作中心

天为什么是蓝色——纯正的天蓝色是什么样的？

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来源

https://www.cnblogs.com/devil-sx/p/18423329

为什么天空是蓝色的？这是一个看似简单却蕴含着丰富物理原理的问题。本文将从光源、介质和接收器三个角度，结合物理学原理、数学公式和实验验证，深入探讨这个有趣的现象。

理论分析

光的传播离不开光源-介质-接收器，后文便也按这个思路分析：

光源：黑体辐射

太阳发光近似看作黑体，黑体辐射的波长-光强满足普朗克定律：

[I(\lambda, T) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k_B T}} - 1} ]

关于黑体：黑体能够吸收任意波长的入射电磁波，同时辐射的电磁波满足普朗克定律。说到黑体，印象中往往只要温度不变辐射就满足固定分布，这背后同时也隐含着吸收的能量，因为温度不变下，辐射能量完全等于吸收能量，吸收和辐射是一体俩面的。太阳能够近似为黑体，也源自极其的吸收能力。

太阳的温度约为 5778 K，其辐射曲线（光谱）如下：

其中绿色是可见光波长范围（380-780nm），选取了三个点，分别代表典型的紫光（410nm）、蓝光（475nm）以及红光（685nm）的波长。

可以看到蓝光的波长接近辐射极大值，这是否是天空呈现蓝色的原因呢？且待后文进一步分析。

关于光谱：光谱的概念很像频域，如果按频域的概念，信号实际上是一堆在正交坐标系下分解的分量的叠加（加权和），横坐标代表频域，纵坐标代表该频率分量大小，则原始信号则是按照某种加权积分（傅里叶逆变换）。但光并非可以简单叠加不同频率的成分，绘制光谱暗含了假设各个成分是非偏振的。这个理解很合理，因为正交意味着相互垂直，没有投影，互不干扰，只有非偏振，各向振幅随机才能满足该性质。

介质：瑞利散射

瑞利散射描述了散射下角度、波长以及光强之间的关系。什么是散射？听名称，散射既改变了传播方向，又增加了传播路径的数量，也就是折射plus。全反射也是“聚是一团火，散是满天星”，全反射是否也是散射呢？询问 GPT 老师，散射还隐含着偏向性，即各向异性的，而全反射是各向同性的。所以散射是改变了传播方向、增加了传播路径数量且满足各向异性的一种玩意儿。

弄明白散射再来看看瑞利散射，其公式如下：

[I_s = I_0 \frac{1 + \cos^2 \theta}{2R^2} \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \left( \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} \right)^2 r^6 ]

其中(I_0)是原始光强，(\theta)是散射角（散射方向和原始方向夹角），(R)代表接受距离散射点距离，(r)代表散射粒子半径。

抽离和波长相关的部分，散射强度和波长(\lambda)成四次方反比，假设(\lambda \rightarrow 0)，岂不是有光强(I_s \rightarrow \infty)的离谱结论？原来瑞利公式成立需要满足(r << \lambda)，散射粒子足够小，远远小于波长。空气分子尺寸大概在 0.1~1 nm 数量级，远远小于可见光 100nm 的量级，瑞利散射成立。但对于 PM 2.5，2.5um 左右的颗粒就不满足瑞利散射的条件了我知道是达尔文效应（雾）。

从散射角看，(\theta)为 0 或 180 ° 时角度因子最大，90 ° 时因子最小，也就是散射光在正向或者反向强度最大，在侧向最小。

实际光线经过厚厚的大气层，不断散射散射，所看到的光是散射光的累加。但这样分析太过复杂，不妨假设大气厚度趋于0，只散射一次，且正午太阳直射，我们以(90° - \theta)角度抬起脑袋仰望天空，接受到了距离为(R)处发生散射的光线。也就是说，只考虑和波长成四次方反比。

[I_s \propto \frac{1}{\lambda ^ 4} ]

接收器：三视锥细胞

光进入眼前含有一堆复杂成分，人是怎么处理将其映射到某一个颜色的呢？

肉眼中存在三种视锥细胞，分别对可见光内不同的成分敏感。对于一个成分为(S(\lambda))的光，有公式：

[\begin{align*} X &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{x}(\lambda) d\lambda\ Y &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{y}(\lambda) d\lambda\ Z &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{z}(\lambda) d\lambda \end{align*} ]

其中(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})叫做 Color Matching Functions，代表不同视锥细胞对颜色的刺激。对多数个体实验记录得到函数形式大概如下：

CMF 在频域上按光频率强度在可见光范围积分，得到得称作对于该视锥细胞的刺激值。X、Y、Z 的比例，反应了得到颜色的色相，X、Y、Z 总刺激的平均，反应了颜色的光强。

刺激值和色相的转换可视化图如下，称作 CIE 1931 色度空间，横纵坐标代表 X、Y 刺激值，因为色相只需要反映三者比例，归一化只需要二维表示。而图形的边缘，正好是纯色可见光的色相，因此能直接对应波长。