高等数学下·A2（预习版）章三-多元函数积分学

高等数学下·A2（预习版）章三-多元函数积分学

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2301_79144343/article/details/136122111

本章内容主要为多重积分，将学习二重积分和三重积分。二重积分是二元函数在空间上的积分，本质是求曲顶柱体体积。

一、二重积分的基本计算

二重积分的符号表示为**∫∫**，其中f(x，y)是被积二元函数，dσ=dxdy，下面的D表示积分区域，类似于曲顶柱体的底面面积区域，积分结果表示曲顶柱体的体积。

1.直角坐标系计算二重积分

1. 图形：画出积分区域D的图形（注意：不是被积函数f(x，y)的）
   

2. 选坐标系：直角

3. 切片方向选择：选择积分顺序，建议选择使计算更简单的方向。例如，如果切分x方向发现有分段函数，则改为切分y。

4. 确定积分元素上下限：

• 选择x型，则先找y的上下限
• 沿y轴正方向看，y的下限为y=0这条线，上限为y=2-x
• 沿x轴正方向看，x的下限为0，上限为2

5. 列式计算：把积分拆开，按从右往左的顺序积分，注意积分元素，先积y则把式子里的x当作常数，求解关于y的定积分。
   
   下面是整个计算过程：
   

2.极坐标系计算二重积分

极坐标系和直角坐标系的元素转换：

• ρ上下限：看圆的半径（0->半径）或者圆环大小径（小径->大径）
• θ上下限：逆时针看角度上下限，起始位置为下限，结束位置为上限（角度读法，一圈为2π，45°为π/4）
• 积分顺序：先积ρ再积θ（固定的）
• 其他的按照五步法来计算即可

答案为：π（没算对再多算几遍√）

练习一下，答案为52π/3

二、二重积分的进阶计算

1.交换积分次序

交换积分次序，实际上是需要把x型和y型互换，原来为x型则改成y型，反之亦然。不需要算出结果，只要把变换后的式子写出来即可。

方法：

1. 找函数：根据上下限找到积分元素之间的关系
2. 画图：画出积分区域D的图形
   
3. 使用切片法重新切
   
4. 列式写结果

2.积分区域对称性解二重积分

1）关于坐标轴对称

观察发现：

1. 被积函数很复杂
2. 积分区域关于坐标轴对称

积分的奇偶对称性：

记忆口诀：

• 轴对称，看奇偶（看D图是否存在轴对称）
• x轴看y，y轴看x（D图关于x轴对称，则代入（x,y）和（x,-y）两个点进被积函数）
• 奇为0，偶成倍（若被积函数为奇函数，则积分结果为0）

2）关于y=x对称

积分的轮换对称性：

x和y可以互换，即把所求转化成多元二重积分，再进行计算（就可以摆脱硬算带来的三角函数了）。

这是硬算：（不太喜欢算这种定积分）

三、三重积分

三重积分的符号表示为**∫∫∫**，其中f(x，y，z)是被积函数（如果是密度函数，则积分结果为质量），dxdydz是被积元素，有时候也写作 dv，下面的Ω表示积分区域（立体图形），积分结果表示立体图形的质量。

1.直角坐标系计算三重积分

1. 画立体图和xoy面的投影图（俯视图）
   
   

2. 选坐标系

3. 确定z的上下限：把z表示成关于xy的函数

4. 确定xy的上下限：这里和前面的二重积分求法相同

5. 列式计算：三重转化为三次积分
   
   

答案为1/12

2.柱面坐标系计算三重积分

三重积分的柱面坐标系相当于二重积分的极坐标系。

换元方法：

先积z再积ρ最后积θ，沿用上面的步骤自己计算一下结果吧0v0

列式计算，结果为32π/3

练习一下：答案为π/2（^v^√）

3.球面坐标系计算三重积分*（这个是拓展部分，不细讲，不考）

这是直角坐标系和球面坐标系的转换：

以下为完整步骤：

4.三重积分的进阶算法

观察：不能硬算，需要找捷径（找合适的性质进行“消消乐”）

以下为解题过程：

总结：

考试遇到复杂的被积函数，先考虑是否有对称，能不能用性质简便计算，再看交换会不会好算一点，最后选择硬算，这个思考过程并不费时间，“三思而后行”，在练多几道题后，相信我们都会熟能生巧1v1

本章还涉及第一类曲面积分（对面积的曲面积分），也叫数量值函数的曲面积分，由于和下一章的两类曲面积分相合，决定放在另一篇博文《章四-向量值函数的积分与场论》里面讲述，欢迎大家浏览