数学基础：区间概念详解

数学基础：区间概念详解

区间是数学中一个基本而重要的概念，用于描述实数集的连续部分。下面将详细介绍区间的基本类型及其表示方法。

区间的定义

开区间

设 $a$ 和 $b$ 都是实数，且 $a<b$，数集 ${x \mid a<x<b}$ 称为 开区间，记作 $(a,b)$。开区间用 空心句点 表示。

$a$ 和 $b$ 称为开区间 $(a,b)$ 的端点，其中 $a$ 为左端点，$b$ 为右端点，且 $a \notin (a,b)$, $b \notin (a,b)$。

闭区间

数集 ${x \mid a \le x \le b}$ 称为 闭区间，记作 $[a,b]$。闭区间用 实心的逗点 表示。

$a$ 和 $b$ 也称为闭区间 $[a,b]$ 的端点，且 $a \in [a,b]$，$b \in [a,b]$。

半开区间

对于集合 ${x \mid x \ge a}$，${x \mid x > a}$，${x \mid x \le b}$，${x \mid x < b}$，我们引进记号 $+\infty$（读作正无穷大）及 $-\infty$（读作负无穷大），则可类似表示无限的半开区间或开区间：

$$
\begin{array}{ll}
[a,+\infty) = {x \mid x \ge a} & (a,+\infty) = {x \mid x > a} \
(-\infty, b] = {x \mid x \le b} & (-\infty, b) = {x \mid x < b}
\end{array}
$$

这些区间在数轴上表示长度无限的半直线。

全体实数

全体实数的集合 $\mathbf{R}$ 也记作 $(-\infty,+\infty)$，它也是无限的开区间。

数轴表示

为了更好地理解区间，我们可以通过数轴来直观表示：

• 开区间 $(a,b)$：在数轴上，$a$ 和 $b$ 用空心圆点表示，表示它们不在区间内。
• 闭区间 $[a,b]$：在数轴上，$a$ 和 $b$ 用实心圆点表示，表示它们在区间内。
• 半开区间：如 $[a,+\infty)$，在数轴上 $a$ 用实心圆点表示，表示它在区间内，而 $+\infty$ 用箭头表示无限延伸。

通过数轴的直观表示，可以更清晰地理解各种区间的定义和特点。