乾坤老师教你快速搞定中考二次函数选择题！

乾坤老师教你快速搞定中考二次函数选择题！

（2021·日照）抛物线 (y = ax^2 + bx + c) 的对称轴为直线 (x = -1)，其部分图象如图所示。根据图象，判断以下结论是否正确：
① (abc < 0)
② ((4a + c)^2 < (2b)^2)
③ 若抛物线上两点坐标分别为 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，当 (|x_1 + 1| > |x_2 + 1|) 时，(y_1 < y_2)
④ 抛物线顶点坐标为 ((-1, m))，则方程 (ax^2 + bx + c = m - 1) 无实数根

正确的结论数量是？
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

这道题目综合考查了二次函数的图像性质，包括开口方向、对称轴位置以及顶点坐标的含义等关键知识点。接下来，我们将详细分析每个选项，并介绍一种高效的解题方法。

在中考数学中，二次函数选择题主要考查以下几个方面：

1. 开口方向：由二次项系数 (a) 的正负决定
2. 对称轴位置：公式为 (x = -\frac{b}{2a})
3. 顶点坐标：顶点公式 (\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right))
4. 参数取值范围：涉及 (a)、(b)、(c) 的符号判断
5. 图像与坐标轴的交点：(y) 轴交点为 ((0, c))，(x) 轴交点需解方程 (ax^2 + bx + c = 0)

乾坤老师在“中考数学每日一‘提’”系列视频中提出了两种解题方法，特别适用于解决这类选择题：

方法一：图像分析法

通过观察二次函数的图像，可以直接得出许多有用的信息：

• 开口方向：向上（(a > 0)）或向下（(a < 0)）
• 对称轴位置：左侧（(a)、(b) 同号）或右侧（(a)、(b) 异号）
• (y) 轴交点：正半轴（(c > 0)）或负半轴（(c < 0)）

方法二：特殊值代入法

选择特定的 (x) 值代入函数表达式，可以快速验证某些结论：

• (x = 0)：得到 (y = c)
• (x = 1) 或 (-1)：可以检验对称性
• (x = \pm2)：用于验证与 (x) 轴的交点情况

让我们运用乾坤老师的解题方法来分析这道真题：

1. 结论①：(abc < 0)

• 分析：由图可知，抛物线开口向上，故 (a > 0)；对称轴在 (y) 轴左侧，说明 (a)、(b) 同号，即 (b > 0)；抛物线与 (y) 轴交点在负半轴，因此 (c < 0)。综上，(abc < 0) 成立。

2. 结论②：((4a + c)^2 < (2b)^2)

• 分析：将 (x = \pm2) 分别代入函数表达式，得 (4a + c = f(2)) 和 (4a + c - 2b = f(-2))。由于 (f(2) > 0) 且 (f(-2) < 0)，可推断出 ((4a + c)^2 - (2b)^2 < 0)，即 ((4a + c)^2 < (2b)^2) 成立。

3. 结论③：若 (|x_1 + 1| > |x_2 + 1|)，则 (y_1 < y_2)

• 分析：距离对称轴越远的点，其纵坐标值越大。因此，当 (|x_1 + 1| > |x_2 + 1|) 时，应有 (y_1 > y_2)，而非 (y_1 < y_2)。此结论错误。

4. 结论④：方程 (ax^2 + bx + c = m - 1) 无实数根

• 分析：抛物线顶点坐标为 ((-1, m))，表明 (y \geq m)。因此，方程 (ax^2 + bx + c = m - 1) 的右侧小于顶点纵坐标，意味着直线 (y = m - 1) 与抛物线无交点，即方程无实数根。此结论成立。

综上所述，正确结论为①②④，共3个。因此，选项 B 正确。

与传统的代数解法相比，乾坤老师的解题方法更注重图像的直观性和特殊值的实用性。这种方法不仅能够快速得出答案，还能帮助学生更好地理解二次函数的性质。

为了巩固所学技巧，建议多做类似练习题。通过反复练习，可以熟练掌握这些解题方法，提高解题速度和准确率。

掌握二次函数选择题的解题技巧对于中考数学至关重要。通过乾坤老师的图像分析法和特殊值代入法，可以更高效地解决这类题目。希望同学们能够通过实践不断提升解题能力，在中考中取得优异成绩。