如何推导椭圆的参数方程
如何推导椭圆的参数方程
椭圆基础知识
椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为2a。
如何由椭圆定义推出椭圆标准方程呢？
如上图所示。由定义可得已知条件为 |MC1| + |MC2| = 2a。当M落在顶点P上时，可得另一已知条件a^2 - b^2 = c^2。当有了已知条件之后，可以通过RT△MC1D和MC2D写出如下等式：
[
\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a
]
该式可通过两边平方消除根式，且化简过程中要用a^2 - b^2代替c^2。该式化简有一定计算量，在此不写出详细步骤。但最终一定能化简为：
[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
]
即有了定义之后，椭圆上任意一点M满足该方程。
椭圆标准方程：
- 当焦点在x轴时，(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))
- 当焦点在y轴时，(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0))
焦距c与a，b的关系：(a^2 - b^2 = c^2)
椭圆面积公式：(\pi ab)，当a=b时，即圆的面积公式(\pi a^2)。
椭圆参数方程
如上图所示。分别作椭圆的外接圆和内接圆。容易得知两个圆方程分别为(x^2 + y^2 = a^2)和(x^2 + y^2 = b^2)。取大圆上一点A（或小圆上一点B），连接OA与小圆相较于B。过点A作一条垂直直线，过点B作一条水平直线，相交于P。此时点P(x,y)在不在椭圆上并不知道，下面求出x和y的表达式。
设∠AOD = θ，而OA = a，因此(x = a \cos \theta)。在△BOE中，OB = b，因此(y = b \sin \theta)。将((a \cos \theta, b \sin \theta))代入椭圆标准方程，等式成立。因此也就得到了椭圆的参数方程：
[
\begin{cases}
x = a \cos \theta \
y = b \sin \theta
\end{cases}
]
这里的θ称为离心角，而∠POD称为旋转角。由图可知离心角是由椭圆上一点和内接圆或外接圆确定的。