《统计物理学》布朗运动瞬时速度悖论

《统计物理学》布朗运动瞬时速度悖论

引用

科学网

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“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。如果某一理论的公理和推理在原则上是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论，或这个理论在逻辑上不能自洽。

朗之万方程（Langevin Equation）是《统计物理学》涨落理论的基本方程。

《统计物理学》分别用解析法和统计法对朗之万方程进行求解，但是却得到了两个相互矛盾对立的布朗运动瞬时速度。

1908年，法国著名物理学家朗之万根据牛顿第二运动定律，建立了描述单个布朗粒子随机运动的动力学方程：

式中m为布朗粒子的质量，γ为液体阻尼系数，F(t)为液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。

统计法求解

通过计算大量布朗粒子在同一时刻位移的统计平均值来求解朗之万方程，得出了布朗运动位移公式：

式中λx为布朗粒子在x轴方向上的平均位移（均方根位移），D为液体扩散系数。

对上式求导，可得布朗粒子瞬时速度：

显然，在微观尺度（t无限小时）下，布朗运动瞬时速度无穷大，爱因斯坦因此得出了“布朗粒子瞬时速度无法测量”的结论。

解析法求解

忽略朗之万方程左边的惯性项，假设随机力F(t)为白噪声，则有

上式表明，布朗运动瞬时速度为白噪声，这一结论虽然与物理学实验结果相符，但与“布朗运动瞬时速度无穷大”的结论矛盾对立。

布朗运动是一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的随机运动现象，如液体中悬浮微粒的无规则运动、光纤陀螺中的随机游走和股票市场中的价格波动等。

自然科学、工程技术和社会科学领域大量的布朗运动瞬时速度实验结果表明：布朗运动瞬时速度为平均功率有限的白噪声，布朗运动的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

原因分析

统计法违反逻辑推理基本规则同一律，将描述大量布朗粒子集体行为的统计参数（均方根位移）当作一个布朗粒子的个体行为（位移），这就如同用温度来描述一个分子的动能一样荒谬，势必会出现矛盾对立的逻辑悖论。

参考：

[1] Tongcang Li, S. Kheifets, D. Medellin, and M. G. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science, 2010(25):1673-1675.
https://www.science.org/doi/10.1126/science.1189403

[2]高宏.质点随机运动学与动力学[J].广西物理,2021,42(02):26-30.
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