罗素的 “大罪”——《数学原理》
罗素的 “大罪”——《数学原理》
注：图片中水印 csdn 直接转存失败，重传所致。
一部大书便是一项大罪”——古希腊诗人卡利马科斯的这句名言，被英国哲学家罗素在《西方的智慧》中引用，并谦虚地表示“以罪而论，这是一部小书”。然而，罗素的这番话恐怕只是自谦之词，因为他的确有一部堪称“大罪”的著作——《数学原理》。
伯特兰·罗素 (1872-1970)
这部三卷近2000页的巨著，不仅让罗素在写作过程中饱受煎熬，更在出版后引发了数学基础研究领域的重大争议。让我们一起走进这部“大罪”之作的创作历程及其深远影响。
创作历程：从雄心壮志到痛苦煎熬
罗素年轻时便立下宏愿，要撰写涵盖所有科学和社会学领域的“大书”。其中，他在数学领域的努力尤为系统。1897年，25岁的罗素完成了《论几何的基础》，随后开始构思《数学的原理》。然而，这部书的写作并不顺利，直到1900年在巴黎国际哲学大会上遇见皮亚诺后，才有了突破性进展。
皮亚诺对罗素的思维方式和数学符号产生了深远影响。在接下来的三个月里，罗素几乎以每天10页的速度推进，年内就完成了数十万字的文稿。然而，好景不长，1901年春天，罗素发现了著名的罗素悖论，这不仅推迟了《数学的原理》的出版，更对整个数学基础研究造成了冲击。
合作与困境
为了解决罗素悖论，罗素邀请了剑桥大学三一学院的老师怀特海共同撰写《数学原理》。然而，这部“大书”的创作过程远比想象中艰难。罗素不仅需要应对技术性的挑战，还在个人生活、家庭和合作者关系上遭遇多重困境。
个人兴趣的转变：目睹怀特海夫人遭受病痛折磨的经历，让罗素深切意识到每个人灵魂深处的孤独，这种意识使他在短短五分钟内“变成了一个完全不同的人”，对人生和社会哲学产生了浓厚兴趣。
婚姻危机：1902年春天，罗素突然意识到自己已不再爱结婚八年的妻子。这段“姐弟恋”在“顿悟”后陷入困境，最终拖了约20年才离婚。
合作者的困扰：怀特海常常陷入非理性的冲动，罗素不仅要帮助他维持家用，还要在经济上补贴他，同时还要隐瞒这些行为以免伤及他的自尊心。
这些困境加上论题本身的艰巨性，使罗素撰写《数学原理》的过程由艰苦变为痛苦。在1903和1904年的夏天，他甚至陷入“彻底的智力僵局”，每天对着白纸枯坐却往往一个字也写不出。
出版与争议
经过十年的煎熬，《数学原理》终于在1910年完成。然而，这部巨著的出版并非一帆风顺。剑桥大学出版社评估后认为出版这部书将亏损600英镑，皇家学会最终赞助了200英镑，罗素和怀特海自己也各自承担了50英镑的损失。
《数学原理》虽然完成了，但罗素因这部大书而受“大罪”的历史并未就此终结。这部书虽然代表了逻辑主义的高峰，却在一定程度上背离了逻辑主义的初衷。书中引入的无穷公理、选择公理和可化归性公理等，遭到了包括外尔、维特根斯坦在内的众多数学家和逻辑学家的批评。
更致命的是，1931年哥德尔发表了著名的哥德尔不完全性定理，指出像《数学原理》这样的体系如果自洽就必然是不完备的，这一发现对《数学原理》造成了颠覆性的打击。
影响与评价
尽管《数学原理》在逻辑上遭遇了重大挑战，但它在数学基础研究领域的影响不容忽视。这部书试图将数学约化为逻辑的努力，虽然未能完全实现，但作为一次可敬的尝试，无疑值得铭记。哥德尔不完全性定理本身以《数学原理》作为表述框架，也体现了这部书对数学发展的重要贡献。
罗素在厚厚的自传中只有两处提到哥德尔，且不无“差评”。其中一处认为哥德尔相信天堂里有一个永恒的“否”字，真正的逻辑学家在死后可以遇到（罗素自己似乎提前遇到了）。罗素将之称为哲学上的“德国偏见”，并表示了失望。另一处则是援引了自己给一位“女粉丝”的信。那位“女粉丝”盛赞了《数学原理》，罗素在信中感谢道：“哥德尔的追随者几乎使我相信为《数学原理》所花的20人年已成浪费，那书也最好被忘记，发现您并不这么看是一种安慰。”——说是安慰，也不无酸楚吧。
但更酸楚的是英国数学家哈代在名著《一个数学家的辩白》中转述的罗素的一个噩梦——那是从罗素本人那里听来的：公元2100年，剑桥大学图书馆的管理员拿着一个桶巡视在书架间，他要把没用的书扔进桶里处理掉，管理员的脚步在三本大书前面停了下来，罗素认出了那正是自己的《数学原理》，而且是最后幸存的一套。管理员把那三本书从书架上抽了出来，翻了翻，似乎被数学符号所困惑，然后他合上了书，思索着是否该扔进桶里……
哈代的转述没有结局，也许到这里罗素被惊醒了，未能“看到”结局。不过我对结局倒是毫不悲观，科学史从来也不是如政治史那样“成王败寇”的历史，《数学原理》虽未能实现将数学约化为逻辑的梦想，作为一次可敬的尝试无疑是该被铭记的。事实上，哪怕像哥德尔不完全性定理那样对《数学原理》造成沉重打击的研究，它以《数学原理》作为表述框架本身也是《数学原理》对数学发展的一笔该被铭记的贡献。因此，若让我来为罗素的噩梦想象一个结局的话，我愿相信公元2100年的图书管理员的决定会是明智的，起码会不亚于罗素那位20世纪的“女粉丝”——那位“女粉丝”说过：“只要文明还存在，并且珍视伟大智者的工作，它[《数学原理》]就不会被遗忘。”
《数学原理》简介
《数学原理》是怀特海和罗素的作品，共三卷，于1910-1913年出版。与弗雷格的《概念文字》一起，对现代逻辑的诞生起着决定性的作用。
内容
《数学原理》包括集合理论，基数和序数以及实数，更高级的实分析定理没有包括在内。最初计划出版第四卷，但没有完成。
《数学原理》试图用一种特定的逻辑符号语言，从一个定义明确的公理和演绎规则中推导出所有数学定理。
他们使用的是Peano开发的逻辑符号，尽管已经做了重新调整，以期使本书的内容更加清晰和简洁。
著作的重要性
“数学原理”被认为是逻辑学史上最有影响力的书籍之一，可与亚里士多德的“工具论”相媲美，在数学基础的研究中发挥了主导作用。Godfrey Harold Hardy在对该书的评论中承认其内容的重要性，甚至写作风格，但他认为这是一本很少有人会完整阅读的书，所使用的符号可能会让大多数读者，包括数学家自己感到厌烦。
现代图书馆在二十世纪最重要的一百本英国非小说类书籍的名单中，将其列为第23位。
理论基础
与形式主义理论不同，《数学原理》的“逻辑主义”理论并没有“规定形式主义的语法”，这个理论的解释（在模型理论的意义上）是以真值的形式呈现的，特别是用符号“⊢”（真值断言），“~”(非），以及“V”（或）。
形式理论的现代构建
一个现代形式系统构建如下：
使用的符号：这个集合是起始集合，其他符号可以创建，但只能通过起始符号的定义。一个起始集合可以是来自Kleene, 1952：逻辑符号“→”（蕴含，IF-THEN，⊃），“&”（和），“V”（或），“¬”（非），“∀”（所有），“∃”（存在）；谓语符号“=”（相等）；函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“’”(后继）；个体符号“0”（零）；变量“a”、“b”、“c”等；和括号“（）”。
符号串：该理论将通过连接（并列）构建符号的“串”。
形成规则：规定如何构建“格式良好的公式”（fbfs）。
转化规则：规定符号和符号序列行为的公理。
推理规则，modus ponens：允许理论从“前提”中获得“结论”，并随后抛弃“前提”的规则（如果是水平的，则符号在线的左边│或线的上面）。事实上，在应用了论证方式后，只剩下结论。
现代理论常将modus ponens作为第一条公理。
A,A⊃B│B
符号│通常用一条横线表示，这里的⊃表示“蕴含”，符号A和B是变量；这种形式的符号被称为“公理图”。这可以解读为：如果A和A蕴含B，那么B，从而保留B供以后使用。但符号没有“解释”（即没有“真值表”、“真值”或“真值函数”），modus ponens仅通过语法机械地进行。
参考文献：
Principia Mathematica - Wikipedia
via：
科学网 — 简介《数学原理》（Principia Mathematica） - 柳渝的博文
https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1319218.html