【前置知识】散度、梯度、旋度及其衍生
【前置知识】散度、梯度、旋度及其衍生
在流体力学理论研究中，以下的算符是不得不掌握的基础。下文整理了笛卡尔坐标系下，散度、梯度、旋度等一系列物理量。
倒三角算符
倒三角算符，称为nabla，哈密顿算子，又可称为del。其表现形式见下式：
在向量微积分中用作三个不同的微分算子的一部分：梯度（∇）、散度（∇·）和旋度（∇×）。
一阶
梯度
梯度表示某标量在空间某一位置沿某一方向的变化率。在表现形式上是倒三角算符乘一个标量，得到一个新的矢量。
散度
散度表征场的有源性。在表现形式上是倒三角算符点乘一个矢量，得到的结果是一个标量。
注意区别：散度是点乘，梯度是乘，在符号上表现的很明显。
旋度
旋度在表现形式上为倒三角算符叉乘一个矢量，得到的结果是一个矢量。
二阶
在上述三度的基础上，可以进一步进行处理。比如散度的梯度、梯度的散度等等。其实它们的二阶形式一共有5种，下文对两个易于混淆的进行解释：
梯度的散度
一个标量通过梯度计算，结果是一个矢量，可进行散度计算，最终仍得到一个标量。这个是最重要也是最常见的。
拉普拉斯算符
上述计算过程可引入拉普拉斯算符进行简化：
拉普拉斯算符是求梯度的散度，按理来说是只能求标量的；但有时候我们会看到它用于矢量。
在Mathematical Methods for Physicists(7th Ed)中对此做出了解释：拉普拉斯算子对于标量的结果是标量。然而，有时候会有人用拉普拉斯算子求向量，此时相对于对该矢量的三个分量分别使用拉普拉斯算子。
例如N-S方程中的就有对矢量应用的例子：
此外我们还能经常在N-S方程中看到矢量点乘哈密顿算子的用法，这其实也有点令人费解，所以查了一下，发现也是一种约定俗成的用法。
散度的梯度
一个矢量经过散度计算，结果是一个标量，仍可进行梯度计算，最终得到一个矢量。在物理问题中很少出现。此处写出是为了防止和拉普拉斯算子混淆。
事实上，散度的梯度如下：
爱因斯坦求和约定
所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号。在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，有时亦称求和的指标为“哑指标”。在同一项中，如果同一指标（如上式中的i）成对出现，就表示遍历其取值范围和。这时求和符号可以省略，在N-S方程表示中常常用到。
例如下式，i的取值范围在1~3，此时表示的是不可压缩流体的连续性方程：