详解最大比合并算法（Maximum Ratio Combining）

详解最大比合并算法（Maximum Ratio Combining）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/forest_LL/article/details/141231944

最大比合并算法（Maximum Ratio Combining，MRC）是无线通信中一种重要的信号合并技术，广泛应用于多天线接收系统中。本文将详细介绍最大比合并算法的原理、实现过程及其与波束赋形的关系，帮助读者深入理解这一关键技术。

一. 空间分集（space diversity）

空间分集，也称天线分集，是通过采用多根天线来接收信号，然后进行合并的技术。在接收端实现空间分集最常见有两种方式：选择性合并（Selection Combining）和最大比合并（Maximal Ratio Combining, MRC）。最大比合并算法可以看作是在接收端实现广义的波束赋形。

二. 系统模型

假定某个无线系统有一根发射天线（Tx），两根接收天线（Rx）。发送端发射出数据s。这个数据需要进行调制，比如QAM调制（Quadrature Amplitude Modulation）。

来看一个系统模型示意图：

图中h1和h2代表两个信道。r1和r2代表两个接收天线。w1和w2代表权重（相乘），中间加号代表相加，最后输出z。

我们仅仅考虑一个时隙。第一根天线会收到r1,第二根天线会收到r2。发射天线与第一根天线之间为平坦衰落，信道增益为h1，同理，发射天线与第二根天线之间为平坦衰落，信道增益为h2。

由此接收端Rx会受到两个信号：

上式子中h1和h2为信道增益（channel gain），通常会被建模为复数高斯分布。这两个式子均来自于加性高斯白噪声模型。

三. 尝试性译码

3.1 选择性合并算法（selection combining）

选择性合并算法的流程如下：

1. 第一步：探测到达每根天线的信号功率
2. 第二步：选择信噪比（SNR）最高的天线
3. 第三步：译码

从以上步骤可以看出，选择性合并算法抛弃了低信号能量的天线，两根接收天线，实际只利用了一根，这很浪费。

3.2 简单相加

如果把所有天线的信号都加在一起会怎么样？

首先，信道增益h1和h2都服从复高斯分布。如果写成极坐标的形式，那么h1和h2的模长（magnitude）就服从瑞丽分布（Rayleigh）。相位（phase）在0到2π之间服从均匀分布。简单加在一起是没有任何意义的，因为所有的东西包括噪声都被扩大两倍，每个东西都被平均掉了。以刚才的模型为例，则可以得到：

对译码没有任何帮助。

四. 最大比合并算法

4.1 合并信号

我们可以尝试对接收到的信号r1和r2进行线性组合。

首先对r1乘以权重值w1。接着对r2乘以权重值w2。最后相加在一起，可得：

推广到一般化，如果接收天线数是NR根的话，那么合并后的信号可以综合性写为：

备注：以上noise其实也要进行线性合并。

需要注意的是，上面式子中的wi也都是复数。并且在设计算法时要求该复数不会放大噪声。这就需要精心设计该线性组合。

其实这个式子就有点波束赋形的味道了。

4.2 设计权重值w

信道增益h和权重因子w都有两大要素，第一个是模长，第二个是相位。回忆起极坐标的运算，相乘时，模长是直接相乘：

相位是相加：

也就是可以得到：

站在接收者的角度，怎么样设计权重因子对译码更有利呢？

首先，接收者通过信道估计过程（借助训练序列或者周期性的导频符号）可以得到信道增益h的值。该模型需要接收端获得信道状态信息（CSI）。

可以设计权重因子w来抵消相位的偏移。换句话说，权重因子w的相位恰好与信道增益的相位相反。那么此时，合并后的信号则变为：

很明显，此时式子就简单多了。

抵消相位可以看一个简单的极坐标图：

极坐标，正负角度相加为0。

接下来我们可以考虑权重因子的模长了。

如果不做任何改变，让权重因子的模长就是简单的1，那么这个方案也被称之为相等增益合并算法（equal gain combining）。

很明显，这个方法不是最优的。我们希望信噪比SNR较优的天线能占比更大一些，也就是给予更多的权重。

怎么实现？

可以让权重因子与信道增益同样模长。也就是：

这个过程可以简单看如下图：

简单总结就是两者互为共轭复数（模长相等，相位互为相反数），也就是：

那么原来的合并信号则可以化简为：

观察这个表达式，这不就是广义的波束赋形嘛！只不过是在接收端实现的。

在信号处理决策中，最大比合并算法是最优的，很好的实现了分集增益效果。

五. 波束赋形

5.1 小结

共轭复数（complex conjugate）是相位相反，模长相等。最优的权重因子wj其实就是信道增益hj的共轭复数，如下：

当然，在实际应用中要实现功率归一化（power normalization），也就是保证系数平方和为1。那么每个因子的前面还要乘以如下标量：

5.2 与波束赋形的关系

物理层波束赋形中也利用了共轭复数的思想。但两者之间还是有细微的区别。

在经典的波束赋形场景中，权重wi的共轭性质是相对于到达波的角度来讲的。以此来保证波束朝着特定的方向传输。

在最大比合并算法中，权重因子wj的共轭性质是根据整个平坦衰落的信道增益hj来选择的。在接收端，这便出现了分集（diversity）的思想。

六. 译码

根据权重因子wj的选择，现在待解调（demodulation）的信号为：

备注：如上图，一根发射天线，两根接收天线

复数乘以其共轭复数即为模的平方。

因为噪声值通常很小，可以暂时忽略。那么最后译码出的信号为：

当然，也可以从图形的方式来理解如何译码一个带噪声的信号。举一个16-QAM的例子：

图中五角星代表16-QAM中的星座点。蓝色小球代表带噪声的信号。黄色的五角星代表最近的星座点。

因为噪声是服从均值为0的高斯分布。所以，离其最近距离的星座点就是最后解调的信号。