等边三角形：定义、性质与应用
等边三角形：定义、性质与应用
等边三角形，又称正三边形，是一种特殊的三角形，其三条边和三个内角都相等。这种三角形不仅在几何学中具有重要地位，而且在实际应用中也展现出独特的稳定性。本文将从定义、性质、判定方法、相关公式以及解题应用等多个方面，全面介绍等边三角形的相关知识。
等边三角形简介
等边三角形，又称正三边形，是三条边和三个内角都相等的三角形，其三个内角均为60°，因此，属于锐角三角形。等边三角形具备等腰三角形的特征，是特殊的等腰三角形。等边三角形也是最稳定的结构。
尺规做法
等边三角形可以通过尺规作图的方式画出，具体方法有两种：
第一种方法：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
第二种方法：在平面内作一条射线AC，以A为固定端点在射线AC上截取线段AB等于等边三角形边长，然后保持圆规跨度分别以A、B为端在AB同侧点作弧，两弧交点D即为所求作的三角形的第三个顶点。
性质
等边三角形具有以下重要性质：
- 等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
- 等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一）。
- 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
- 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心（四心合一）。
- 等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（等于其高）。
- 等边三角形拥有等腰三角形的一切性质（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）。
- 复数性质：A，B，C三点的复数构成正三角形，等价于
$$
z_A + z_B + z_C = 0
$$
其中
$$
z_A, z_B, z_C
$$
分别为A，B，C三点对应的复数。
判定方法
等边三角形的判定方法包括：
- 三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
- 三个内角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
- 两个内角为60度的三角形是等边三角形。
说明：
- 三个判定定理的前提不同，判定（1）和（2）是在三角形的条件下，判定（3）是在等腰三角形的条件下。
- 判定（3）告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角是60度，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形。
- 等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
相关公式
等边三角形相关公式
边长公式：设等边三角形的边长为$a$，则
$$
a = \sqrt{3} \cdot h
$$
其中$h$为等边三角形的高。面积公式：设等边三角形的边长为$a$，则
$$
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
$$
等边三角形与圆的有关计算公式
高：设等边三角形的边长为$a$，则
$$
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
$$内切圆半径：设等边三角形的边长为$a$，则
$$
r = \frac{\sqrt{3}}{6} a
$$
外接圆半径：设等边三角形的边长为$a$，则
$$
R = \frac{\sqrt{3}}{3} a
$$内切圆面积：设内切圆半径为$r$，则
$$
S_{\text{内切圆}} = \pi r^2
$$外接圆面积：设外接圆半径为$R$，则
$$
S_{\text{外接圆}} = \pi R^2
$$
由此可知等边三角形外接圆面积是内切圆面积的4倍。
运用等边三角解题方法
在全等证明题目中往往把等边三角形作为背景图形，在解题时我们要善于运用等边三角形的特殊性来达到证明全等的目的。如下例题：
已知：△ABC中，$AB = AC$，且$BC = 2AB$，求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。
证明：要使三角形的周长最短，只要使BC最短。
根据余弦定理有：
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
$$
所以当$\cos A = 1$时BC最小，为$AB$；这时，周长为$3AB$最短。