【笔面试常见题：三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导
【笔面试常见题：三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），又称三门问题，是一个源自美国电视游戏节目的著名概率论问题。这个问题因其反直觉的解答而闻名，曾引起广泛的讨论和争议。本文将通过条件概率、全概率和贝叶斯定理，详细推导这个问题的解法。
1. 问题介绍
三门问题，又叫蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？
2. 事件定义
不失一般性，假设我们最初选择1号门，然后主持人打开3号门。定义事件如下：
- A 1 = A_1=A1 =汽车在1号门后
- A 2 = A_2=A2 =汽车在2号门后
- A 3 = A_3=A3 =汽车在3号门后
- B 3 = B_3=B3 =主持人打开3号门
根据题意不难得到：
- P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = P ( A 3 ) = 1 3 P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}P(A1 )=P(A2 )=P(A3 )=31
- 如果汽车在1号门后，那么主持人可以选择打开2号门或3号门。主持人打开3号门的概率是二分之一，此时：P ( B 3 ∣ A 1 ) = 1 2 P(B_3|A_1)=\frac{1}{2}P(B3 ∣A1 )=21
- 如果汽车在2号门后，主持人只能打开3号门（因为门1是你选的，门2有汽车），此时：P ( B 3 ∣ A 2 ) = 1 P(B_3|A_2)=1P(B3 ∣A2 )=1
- 如果汽车在3号门后，主持人不会打开3号门，此时：P ( B 3 ∣ A 3 ) = 0 P(B_3|A_3)=0P(B3 ∣A3 )=0
计算概率
如果我们选择换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车在2号门的概率，即：P ( A 2 ∣ B 3 ) P(A_2|B_3)P(A2 ∣B3 )。
根据贝叶斯公式：
P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)
P ( A 2 ∣ B 3 ) = P ( B 3 ∣ A 2 ) P ( A 2 ) P ( B 3 ) = P ( B 3 ∣ A 2 ) P ( A 2 ) ∑ i = 1 3 P ( B 3 ∣ A i ) P ( A i ) = 1 / 3 1 / 2 = 2 3 \begin{align} P(A_2|B_3)=&\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{P(B_3)}\notag\ =&\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{\sum_{i=1}^3P(B_3|A_i)P(A_i)}\notag\ =&\frac{1/3}{1/2}\notag\ =&\frac{2}{3}\notag \end{align}P(A2 ∣B3 )==== P(B3 )P(B3 ∣A2 )P(A2 ) ∑i=13 P(B3 ∣Ai )P(Ai )P(B3 ∣A2 )P(A2 ) 1/21/3 32
相似的，如果我们选择不换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车还在1号门后的概率：P ( B 3 ∣ A 1 ) = P ( B 3 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B 3 ) = 1 3 P(B_3|A_1)=\frac{P(B_3|A_1)P(A_1)}{P(B_3)}=\frac{1}{3}P(B3 ∣A1 )=P(B3 )P(B3 ∣A1 )P(A1 ) =31
总结，选择换门，赢得汽车的概率是2/3，选择不换，赢得汽车的概率是1/3，所以果断换门。