求二叉树中节点的最大距离

求二叉树中节点的最大距离

在二叉树中寻找两个节点之间的最大距离是一个常见的算法问题。本文将通过分析二叉树的结构，提出一个高效的递归算法来解决这个问题。

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义 " 距离 " 为两节点之间边的个数。写一个程序，求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离，求二叉树中节点的最大距离

分析：先画几个不同形状的二叉树，从例子中可以看出，相距最远的两个节点，一定是两个叶子节点，或者是一个叶子节点到它的根节点：

根据相距最远的两个节点一定是叶子节点这个规律，我们可以进一步讨论。 对于任意一个节点，以该节点为根，假设这个根有 K 个孩子节点，那么相距最远的两个节点 U和V之间的路径与这个根节点的关系有两种情况：

1. 若路径经过根Root，则U和V是属于不同子树的，且它们都是该子树中到根节点最远的节点，否则跟它们的距离最远相矛盾。

2. 如果路径不经过Root，那么它们一定属于根的K个子树之一。并且它们也是该子树中相距最远的两个顶点。

所以，只需要计算这两种情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

递归：

1. 先弄清楚递归的顺序。在递归的实现中，往往需要假设后续的调用已经完成，在此基础之上，才实现递归的逻辑。在该题中，我们就是假设已经把后面的长度计算出来了，然后继续考虑后面的逻辑；
2. 分析清楚递归体的逻辑，然后写出来。比如在上面的问题中，递归体的逻辑就是如何计算两边最长的距离；
3. 考虑清楚递归退出的边界条件。也就说，哪些地方应该写return。

注意到以上 3 点，在面对递归问题的时候，我们将总是有章可循。

经过以上的分析，我们可以看出，情况１及２需要不同的信息: 情况１需要子树的最大深度，情况２需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:

int maxDistance(Node * root)
{
 int depth;
 return helper(root, depth);
}
int helper(Node * root, int &depth)
{
 if (root == NULL)
 {
 depth = 0; 
 return 0;
 }
 int ld, rd;
 int maxleft = helper(root->left, ld);
 int maxright = helper(root->right, rd);
 depth = max(ld, rd)+1;
 return max(maxleft, max(maxright, ld+rd));
}