【笔面试常见题：三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导

【笔面试常见题：三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_54713489/article/details/143440751

1. 问题介绍

三门问题，又叫蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？

2. 事件定义

不失一般性，假设我们最初选择1号门，然后主持人打开3号门。定义事件如下：

• A1 = 汽车在1号门后
• A2 = 汽车在2号门后
• A3 = 汽车在3号门后
• B3 = 主持人打开3号门

根据题意不难得到：

• P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3
• 如果汽车在1号门后，那么主持人可以选择打开2号门或3号门。主持人打开3号门的概率是二分之一，此时：P(B3|A1) = 1/2
• 如果汽车在2号门后，主持人只能打开3号门（因为门1是你选的，门2有汽车），此时：P(B3|A2) = 1
• 如果汽车在3号门后，主持人不会打开3号门，此时：P(B3|A3) = 0

计算概率

如果我们选择换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车在2号门的概率，即：P(A2|B3)。

根据贝叶斯公式：

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

P(A2|B3) = P(B3|A2)P(A2) / P(B3)
= P(B3|A2)P(A2) / Σ[i=1 to 3] P(B3|Ai)P(Ai)
= (1/3) / (1/2)
= 2/3

相似的，如果我们选择不换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车还在1号门后的概率：

P(B3|A1) = P(B3|A1)P(A1) / P(B3)
= 1/3

总结，选择换门，赢得汽车的概率是2/3，选择不换，赢得汽车的概率是1/3，所以果断换门。