频率域图像增强技术详解：低通滤波器与高通滤波器
频率域图像增强技术详解：低通滤波器与高通滤波器
频率域图像增强是数字信号处理中的一个重要技术，通过在频率域对图像进行滤波处理，可以实现图像的平滑、锐化等增强效果。本文将详细介绍频率域图像增强的基本原理，以及低通滤波器和高通滤波器的具体实现方法。
频率域图像增强
为什么要在频率域研究图像增强？原因如下：
- 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
- 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
- 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具。
- 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它。
傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间存在密切联系：
- 变化最慢的频率成分（u=v=0）对应一幅图像的平均灰度级。
- 当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分。
- 进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分。
频率域滤波
频率域滤波的基本步骤如下：
- 对图像进行傅里叶变换，得到频率域表示。
- 应用滤波器函数H(u,v)对频率域表示F(u,v)进行乘法运算。
- 对滤波后的频率域表示进行反傅里叶变换，得到处理后的输出图像。
基本滤波器
陷波滤波器
陷波滤波器通过设置F(0,0)=0（结果图像的平均值为零），而保留其它傅里叶变换的频率成分不变。这种滤波器用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果。
低通滤波器
低通滤波器使低频通过而使高频衰减。被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分。常见的低通滤波器包括理想低通滤波器和巴特沃思低通滤波器。
高通滤波器
高通滤波器使高频通过而使低频衰减。被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分。高通滤波器常用于图像锐化处理。
空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积表示为f(x,y)*h(x,y)，定义为：
对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器进行线性滤波：
卷积定理
卷积定理说明空间域卷积可以通过F(u,v)H(u,v)的乘积进行反傅里叶变换得到，同时说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得。
频率域平滑滤波器
边缘和噪声等尖锐变化处于傅里叶变换的高频部分，平滑可以通过衰减高频成分的范围来实现。常见的频率域平滑滤波器包括理想低通滤波器和巴特沃思低通滤波器。
理想低通滤波器
理想低通滤波器通过截断傅里叶变换中的所有高频成分，这些高频成分处于指定距离D0之外。频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点(u,v)到中心（原点）的距离如下：
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。
巴特沃思低通滤波器
n级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下：
D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离。不同于ILPF，BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断。当D(u,v)=D0时，H(u,v)=0.5（最大值是1，当D(u,v)=0）。
应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。
低通滤波器的应用实例
低通滤波器在多个领域都有重要应用：
- 字符识别：通过模糊图像，桥接断裂字符的裂缝。
- 印刷和出版业：从一幅尖锐的原始图像产生平滑、柔和的外观，如人脸，减少皮肤细纹的锐化程度和小斑点。
- 处理卫星和航空图像：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征。低通滤波通过消除不重要的特征来简化感兴趣特征的分析。