四元数在三维点坐标变换中的应用原理
四元数在三维点坐标变换中的应用原理
四元数是三维图形学中一个重要的数学工具，广泛应用于三维点的旋转操作。本文从复数的概念出发，逐步深入讲解四元数的定义、性质及其在三维旋转中的具体应用，帮助读者建立对这一抽象概念的直观理解。
1. 三维点旋转的方案
在三维空间中，点的旋转可以通过多种方式实现，常见的方案包括：
- 欧拉角：虽然简单直观，但存在万向节锁问题，因此在实际应用中较少使用。
- 旋转矩阵：可以进行累乘操作，但容易产生误差累计。
- 四元数：由于前两种表示方式的局限性，四元数成为三维旋转表示的主流选择。
本文将重点介绍四元数在三维点旋转中的应用原理。
2. 使用复数表示二维点的旋转
2.1. 复数的概念
复数可以表示为 (a + bi)，其中 (i) 是虚数单位，满足 (i^2 = -1)。复数可以用来表示二维平面上的点或向量的旋转。
上图中的圆是一个单位圆，图中展示了一个点或向量绕原点旋转 (\theta) 角度的情况。这个二维坐标 ((a, b)) 可以用一个复数表示。
2.2. 复数的三种形式及相互转换
复数有三种表示形式：
- 代数形式：(a + bi)
- 三角形式：(r(\cos\theta + i\sin\theta))
- 指数形式：(re^{i\theta})
2.3. 复数概念扩展：实数、虚数、复数
复数的概念可以进一步扩展，包括实数、虚数和复数。实数可以看作虚部为0的复数，虚数则是实部为0的复数。
3. 四元数旋转三维点原理
四元数是复数的推广，形式为 (q = w + ai + bj + ck)，其中 (i, j, k) 都是虚数单位，满足 (i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1)。四元数可以表示三维空间中绕任意轴的旋转。
上图展示了一个三维单位球面上的点（或单位方向向量）绕着轴 ((a, b, c)) 旋转 (\theta) 角度的情况。其中 ((a, b, c)) 是一个单位向量。
4. 使用四元数进行旋转的公式
使用四元数进行旋转的公式如下（结果为一个新的四元数）：
假设有四元数 (q = w + ai + bj + ck)，那么四元数的逆的公式为：
[q^{-1} = w - (ai + bj + ck)]
注意：如果 (q) 没有归一化，那么 (q) 的逆需要再除以模的平方：
[q^{-1} = \frac{w - (ai + bj + ck)}{|q|^2}]
5. 旋转叠加
四元数支持旋转的累乘操作。例如，先旋转 (q_1)，再旋转 (q_2)，可以表示为：
[q_2q_1p]
其中 (p) 是要旋转的三维点（表示为四元数形式）。
6. 四元数转换为三维点
旋转之后，如何得到三维的点坐标呢？我们只需要把实部抛弃（或者写成0），虚部的三个值恰好就是一个三维点的坐标。也就是说：
[(0, xi + yj + zk)]
恰好就是三维点：
[(x, y, z)]