线性系统性能分析方法1——时域分析法
线性系统性能分析方法1——时域分析法
线性系统性能分析是控制系统设计和分析中的重要环节。本文将介绍线性系统性能分析中的时域分析法，重点讨论一阶系统和高阶系统的时域分析方法。通过本文的学习，读者将能够掌握线性系统性能分析的基本方法，为后续的控制系统设计和分析打下坚实的基础。
1. 典型输入信号
2. 阶跃响应的时域性能指标
线性系统的输出响应可以分解为暂态响应和稳态响应两部分：
c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应 + 稳态响应
2.1 暂态性能指标
2.2 稳态性能指标
稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即：
3. 一阶系统的时域分析
凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
T＝RC，为时间常数。其典型传递函数及结构图为：
3.1 单位阶跃响应
当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。
拉式反变换可得：
响应曲线为：
响应曲线在[0，∞）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡。
一阶系统响应具备两个重要的特点：
①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于1/T。
T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts。
定义：︱c(ts) -1︱=D(D取5%或2%)
3.2 单位斜坡响应
当输入信号r(t)=t(t)时，系统的响应c(t)称作其单位斜坡响应。
拉式反变换可得：
响应曲线为：
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。稳定值为：
表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。
- 比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪。
在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。
3.3 单位脉冲响应
当输入信号R(s)=1时，系统的响应c(t)称作其单位脉冲响应。
它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。拉式反变换可得：
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
对应：
- 线性定常系统的重要性质
当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。
在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。
4. 高阶系统的时域分析
（1）高阶系统的阶跃响应
控制系统的基本结构如图所示。
其闭环传递函数为：
G(s)，H(s)一般是复变量s的多项式，故上式可记为：
根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为：
式中0<ξk<1。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。称为系统闭环特征根，或闭环极点。
于是，系统单位阶跃响应的拉氏变换：
取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，使用留数定理得到系统单位阶跃响应的时间表达式：
上式中，实极点为-Pj，若-Pj为负，则第一个指数函数随着时间的增加会慢慢衰减；由求根公式可知共轭复极点的实部为-ξkωk，因此当-ξkωk为负时，第二个指数函数随着时间的增加会慢慢衰减。综上所述若系统所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。