欧拉-拉格朗日方程与变分法：从历史到应用
欧拉-拉格朗日方程与变分法：从历史到应用
欧拉-拉格朗日方程是变分法中的核心方程，广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。本文将从历史背景出发，详细阐述欧拉-拉格朗日方程的起源、发展及其在解决最速降线问题中的应用，帮助读者理解这一深奥而重要的数学概念。
0 前言
0.1 17世纪的泛函分析与变分法
在17世纪，数学家们开始遇到一些需要处理函数集合的问题，这些问题涉及到函数的极值、曲线的长度、曲面的面积等。这些问题无法用传统的微积分方法来解决，因为微积分主要研究的是单个函数的性质和行为。因此，数学家们开始探索一种新的数学工具来处理这类问题，这就是泛函的雏形。
泛函是一种特殊的映射，它的特点在于其输入不是单个或多个数值变量，而是一个函数（或称为函数曲线、函数图像等）。这个函数可以看作是一个无穷维的“向量”，因为它包含了在定义域内所有点上的取值信息。泛函则是对这个“向量”进行某种运算或评估，得出一个实数（或复数）作为结果。
在许多实际问题中，我们需要对函数进行整体性的评估或优化，而不是仅仅关注函数在某一点的取值。例如，在物理学中，我们可能需要计算一个物理系统在不同状态下的总能量或总动量，这些量都是函数（如状态函数）的泛函。
0.2 最速降线问题与变分法的萌芽
1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题，即一个质点在重力作用下从一个给定点滑到另一个给定点，沿着什么曲线滑下所需时间最短。这个问题引发了数学家们的兴趣和研究。虽然当时并未明确提出泛函的概念，但最速降线问题可以看作是泛函分析的一个早期应用实例。
欧拉在1733年通过变分原理解决了最速降线问题，这标志着变分法的正式诞生。变分法是一种求解泛函极值的方法，它可以说是最初的泛函分析。在18世纪，拉格朗日进一步发展了变分法，系统性地提出了拉格朗日乘数法和欧拉-拉格朗日方程，也就是目前变分法的核心：欧拉-拉格朗日方程。
1 欧拉-拉格朗日方程的提出 - 最速降线问题的解决
1.1 问题描述
假设物体从原点O点开始出发，沿任意曲线运动到A点（O点坐标为(x1，y1)，A点坐标为(x2，y2)，A点低于O点），物体运动过程中只有重力做功，无摩擦力。何种曲线才能让物体从A滑到b的时间最短？
1.2 构建泛函数学模型
物体沿曲线下滑的速度由重力势能转化为动能决定。设物体在曲线上的任意一点处的速度为 v，设此时物体距离出发点的距离纵向距离为，横向距离为，则根据能量守恒定律，有：
物体沿曲线从 A到 B 所需的时间 T可以表示为：
其中 ds 是曲线上的微小弧长，可以表示为：
这里的微小弧长就是勾股定理，x的长度参考长度为1，通过斜率（dy/dx）计算斜面的参考长度。
将 v和 ds 代入 T 的表达式，得到：
在这里，由于不知道y与x之间的映射关系，仅利用经典的微积分理论体系，T的数值不可能被计算出来，也无法解决T的极值问题。
但是还有一种思路：将x和y的映射关系（函数）同样作为未知函数输入，将作为未知变量。于是，令：
原式简写为：
在这里，自变量变为数集y和映射集，已经不是简单的多个数值自变量的函数方程了，其同时将数值元素的映射关系作为自变量。为了进行区分，这种特别的函数称为泛函（Functional），即更加广义的函数（Function）。
在泛函T[y]中，y代表的一系列的数值集合，在定义中，x和y之间存在某一种映射关系，这些数值与映射关系的集合构成了泛函系统，而输出T[y]则是一个实数值。在这一问题中，我们求解的不是T[y]这一实数值，而是T[y]取极值时，泛函系统中x与y的映射关系（表达式）。
1.3 变分法与欧拉拉格朗日方程
已知：
假设泛函在某函数处取得极值，那么对于的任何微小变化，泛函的变化量都应该为零（可以忽略不计）。这是因为，如果不为零，那么我们就可以通过调整的大小和方向来使得在附近取得更大的值（对于极大值）或更小的值（对于极小值），这与在处取得极值的假设相矛盾。
这一原理与函数极点处导数为0有异曲同工之妙。对于普通函数而言，其极点前后点的导数也是趋近于0的（线性近似）。
为了更好表述这一问题，对于泛函中映射关系的任何微小变化，学者们称之为“变分”，即的变分。而利用变分概念求解的映射结构的数学方法被称为变分法。
也就是说：如果是使取得极值的函数，那么对于任何满足边界条件的变分，即将函数进行微小变化：
（其中是一个很小的参数，且），对应泛函的变化必须为 0：
是什么？：是一个任意的函数，它表示函数 y(x) 的一个微小变化的方向和形状。当我们想要研究泛函在某个函数 y(x) 附近的极值行为时，我们会考虑 y(x) 沿着不同方向上的微小变化。具体来说，η(x) 可以是任何满足一定条件（比如连续、可微等）的函数，它用于构造 y(x) 的微小变化 y(x)+εη(x)。
为什么 ε 是一个很小的参数？：在变分法中，当我们想要研究一个泛函的极值时，我们考虑函数 y(x) 的微小变化。这种微小变化可以通过引入一个小参数 ε 来表示，它乘以一个任意的函数 η(x)，即。这里，ε 很小是为了保证变化是微小的，从而可以在这一点上进行线性近似，这是变分法的基础。
为什么？：在变分问题中，函数 y(x) 通常在区间的端点 x1 和 x2 处满足一定的边界条件。当我们在研究 y(x) 的微小变化时，我们希望这些变化不会破坏原有的边界条件（该曲线必须经过最速降线问题中的起点和终点）。具体来说，假设 y(x) 在和处分别满足边界条件，，，仅时，在和依然等于和。
因此，该问题可以表述为：对y(x) 函数进行变化时，泛函的变化为0。
将代入泛函式(1)有：
其中。展开的泰勒级数（仅保留一阶项），得：
忽略高阶小量，进行变化可得：
（2）
可以注意到上式中有，为了简化，使用分部积分将转换为的形式。根据分部积分公式：
注：：这表示对括号内的表达式在 x1 和 x2 两点进行求值，并计算它们的差。
由于（微小变化在边界处为零），第一项消失，因此：
将这一结果代入式（2），令泛化变化等于0，变化得到：
由于是任意函数，唯一可能的情况是积分中的括号为零，即：
（3）
而推导出来的式3，就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）。
无论是在何种维度的映射中，泛函都满足边界效应，消去差值部分，如本例子中的，因此总能简化为欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程的第二种表达式：
若函数是的函数，即。其全导数为：
（4）
-是 F 对 y 的偏导数，乘以；
-是 F 对 y'的偏导数，乘以；
可得：
（5）
又因为：
（6）
将式5代入式6代入得
化简：
根据欧拉-拉格朗日方程：，代入上式
即：
（7）
式7就是欧拉-拉格朗日的第二种表达式，适用于二元素的映射泛函，即
特别的，若F中不显含x，则F对x的全导数处处为0。
根据F的定义式，x在F和函数中不显含。因此，函数关于x的偏导数处处为0。
此时，欧拉-拉格朗日方程的第二种形式可进行化简：
因为：
即
两边对x积分有：
故对于变量x，函数为一个恒定的值，我们设其为积分常数C。换句话来说，仅关于y和y'变化，不会根据x变化。
1.4 解决最速降线问题
直接将代入第一种欧拉-拉格朗日方程式：
可得：
但这并不好解
所以我们用x对F不显式的第二表达式进行求解：
即：
提取公因子后，其分子为：
故：
将上式进一步变化：
可得：
得：
（8）
上式并不简洁，我们需要用换元法稍加处理：
对于式8中的，令
其中：
，式8中的化为：
继续化简：
于是式8可写为
（9）
对式9两边进行积分得：
将起始点与带入和可以组成二元一次方程组，可以解得的具体数值。
而这里x、y关于的公式就是“摆线”的表达式，也就是最速降线的解
其中是摆线的半径。
摆线的标准表达式为：
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