伯德图中的相角裕量和幅值裕量有什么物理意义？

伯德图中的相角裕量和幅值裕量有什么物理意义？

在理解幅值裕度（Gain Margin）和相位裕度（Phase Margin）之前，首先说一下系统增益的概念。

考虑如下的线性时不变LTI系统 (G(s))，当输入一个正弦信号时，输出也是正弦信号。

Gain的意义是稳态输出与输入幅值比值，上图中系统Gain就是2。类似的，相位是指信号时域形状的位移量，上图中是-90°。Gain和Phase在不同信号频率(w)下是不同的，而bode图就是展示了全部频率范围内的系统Gain和Phase值。

因此在考虑系统稳定裕度（Margins）的时候，需要考虑全部频率范围。

需要注意的是，增益Gain这个词在系统中的实际含义往往是不确定的或者说迷惑的。举个例子，

假设(G(s)=5)，则系统在所有频率下Gain都是5，如果在开环系统之前加一个缩放项(K=2)，则系统Gain变成了10。

对于一个稍复杂的系统，情况就不同了，

这个系统Gain是5+3=8，但是当我只对并联第一项前面增加一个缩放项 (K=2)，则系统Gain=13不等于8x2=16。只有把缩放项放在所有通道前面才能使得整个系统增益加倍。但是当存在反馈时，这个缩放项又不再同等地对两个通道起作用。

裕度Margin是系统稳定性的表征，裕度越小，系统越不稳定。控制系统模型与实际模型相比总存在不确定性和模型误差，例如飞行控制，不确定性和误差来源可能是飞机质量惯性矩估算误差、空气动力学数据、执行机构、传感器、大气扰动等等。针对这些不确定性的控制系统的稳定性能称为鲁棒性。

稳定裕度的含义

稳定裕度始终是针对开环系统而言的。开换系统对闭环系统到底有什么影响？

单位负反馈的闭环系统传递函数为：

[
\frac{G(s)}{1+G(s)}
]

如果闭环系统不稳定，对于LTI系统而言就是存在极点在右半平面，也可以理解为系统Gain是无穷大（因为不稳定最终会发散）

[
\frac{G(s)}{1+G(s)}=\infty
]

这就等价于(G(s)=-1)，这就和Nyquist曲线里（-1,0）这个特殊点也对应上了。

对于开环系统(G(s)=-1)，它的伯德图长这样：

这就是系统保证稳定性而不能同时触碰的红线！！Margin就是系统离红线有多远的表征。

假设一个系统的伯德图长下面这样：

当增加系统的Gain时，幅值曲线向上平移，相位曲线不动，

注意这里的增加Gain是针对系统全部通道而言的。

可以发现新系统幅相曲线同时离0dB和-180°的红线更近了，也就是增益稳定裕度下降了。

这就是增益裕度Gain Margin。

类似的，系统中存在的延迟会使得相位滞后，但不影响幅频特性，

相位延迟后的新系统同样的离0dB和-180°的红线更近了，也就是稳定裕度下降了，这个距离就是相位裕度Phase Margin。

数值例子

Matlab中bode()、margin()函数的帮助文档对稳定裕度也有很详细的说明。这里举个数值仿真的例子，

使用margin(g)直接画图表示稳定裕度：

可见系统稳定裕度从数值上看貌似还不错。但是实际系统的稳定性信息并不能简单的通过这两个数字反映，这里可以演示一下。正如前文所述，Gain Margin 的含义是开环系统前面缩放项K的可变量，是针对系统所有通道而言的。假如某种不确定性只影响单独一个通道，使得系统传递函数的分母多项式稍微变化一点，

(g=1.3*(s+2)/(s^3+s^2+3*s+1))

则新系统的伯德图如下：

可见新系统的稳定裕度瞬间都下降了很多。这就说明一个问题，增益裕度和相位裕度都是从整体上表征系统增益和相位延迟对稳定性的影响，不能表示某些单独变化会对系统稳定性造成什么影响（实际上可能影响非常大），后者就涉及到系统鲁棒性和参数敏感性的问题。再举一个例子以表明稳定裕度的“误导性”选取开环系统

(g=0.38*(s^2+0.1s+0.55)/(s(s+1)(s^2+0.06s+0.5)))

这个系统的幅值裕度是无穷大，意思是无论开环系统前面的增益变成多大，系统始终保持稳定，看起来这个系统貌似特别稳定。但是，实际上他很弱。因为你可以观察到大概0.7rad/s频率附近的显著地相位下降。如果系统受到扰动，使得这个谷点跌破-180°，那么系统稳定性完全不同了。

以上两个例子说明了幅值裕度和相位裕度不能完全表征系统的稳定性特征，相比伯德图而言，Nyquist图是更有用的分析工具，比如说第二个例子，它的Nyquist曲线是这样的，

尽管在0dB和-180°的两个特殊情况，系统幅相点离（-1,0）很远，但是存在两个离（-1,0）很近的点，这才是考虑系统稳定性需要着重关注的。