电磁学-高斯定理的证明和应用
电磁学-高斯定理的证明和应用
高斯定理的理解
电场线密度与性质
电场线密度在某点处表示该点的电场强度E的大小。电场线具有以下性质：
- 起源于正电荷，止于负电荷，不会中断。正电荷是静电场的源头，负电荷是静电场的尾闾。
- 电场线能形成闭合曲线。
- 电场线不相交。
电通量的计算
电通量是一个标量，由电场强度E和面积矢量S的点乘得到。规定法线的正方向指向闭合曲面的外侧：
- 当电场线穿入闭合曲面时，cos值小于0，电通量为负值。
- 当电场线穿出闭合曲面时，cos值大于0，电通量为正。
- 通过闭合面的电通量等于净穿出闭合面的电场线的条数。
静电场的高斯定理
在真空中的任意静电场内，通过任一闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数，而与闭合曲面外的电荷无关。
高斯定理正确性的证明
- 对于规则球面，半径S的计算很方便，积分容易处理。
- 对于不规则曲面，可以通过构建合适的规则球体来计算电通量，因为球体和不规则曲面的电通量是相同的。
- 当闭合曲面不包围点电荷时，取任意曲面S，由于电场线连续，通过S的净电场线为零。
如上图所示，电场线穿入封闭曲面之后又穿出，穿入时电通量为负值，穿出时电通量为正，所以电通量为0。这说明电通量不受封闭曲面外的点电荷影响，只有封闭曲面内的电荷影响电通量的大小。
高斯定理的应用
利用高斯定理求电通量
例1：设均匀电场 和半径为R的半球面的轴平行，计算通过半球面的电通量
分析：由高斯定理可知，我们选择封闭的半球面作为高斯面，由于q=0，所以封闭曲面的电通量为0，封闭曲面的电通量又是由上开放的半球面加上底面圆构成的，底面圆方向与E相反，cos值为-1，所求半球就是总量0减去底面圆的电通量
例2：立方体边长a，求位于中心q过每一面的通量，以及q位于一顶点,过每一面的通量
对于q位于正方体中心的情况，它的电场线穿过六个面的程度是一样的。由高斯定理，我们选择正方体六个面作为高斯面，总电通量为：
所以每个面的电通量就是总量除以6。
对于第二种情况：q位于顶点，乍一看好像找不到封闭曲面作为高斯面，但有了第一题的经验，我们可以构建一个正方体，使得q还是处于大正方体中心，此时我们需要在小正方体旁放置7个小正方体，那样其实裸露在外表面的只有题中小正方体的三个面，关于q在的顶点相连的三个面都处于内部，电通量为0，总电通量不变为：
大正方体一共4x6=24个面，所以最终答案：
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
高度对称面不外乎是球体、圆柱体、均匀面密度的面。计算步骤如下：
- 对称性分析，确定E的大小及方向分布特征
- 作高斯面，计算电通量及qi
- 要求：高斯面必须是闭合曲面且必须通过所求场点
- 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
利用等式解出E，进一步说明封闭曲面可以拆成几个面的组合，其中：
可以看出有些面的电通量为0，剩下的面都是容易计算面面积的，所以很容易算出电通量的另一种形式，带入两边的等式则很容易计算电场强度E。
例3：均匀带电无限大平面的电场，已知面密度值
由于E具有面对称，我们选取高斯面：两底面与平板平行等距、侧面与平板垂直。因为侧边和面垂直，cos值为0，所以不需要考虑，只需要看电场线穿过的面积，面两侧的面积相同，所以电通量为2ES，因此带入等式中就可以计算。
例4：求：电荷面密度分别为 和 的两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。
利用上题结论，可以分别分析出两块电荷板各自的电场强度，如果我们规定了X正向方向，则可以算出：