改进的PID算法
改进的PID算法
位置式PID算法
位置式P I D PIDPID算法是一种比较直观的的P I D PIDPID算法，如系统框图中所示，i n inin表示设定值，e r r o r errorerror表示差值，u uu表示控制器输出值，o u t outout表示被控量。算法表达式如下：
增量式PID算法
增量式P I D PIDPID算法不比位置式更直观，当执行机构需要控制量的增量时，适合采用增量式P I D PIDPID算法，比如步进电机控制。算法表达式如下：
也可用后向差分法进行离散化，P I D PIDPID的连续传递函数为
令
将s ss表达式代入到G GGc( s ) (s)(s)中，得
积分分离PID算法
P I D PIDPID算法中,积分可消除稳态误差，提高控制精度，在系统启动或设定值大幅改变时，被控量与设定值之间会产生较大的偏差，造成过大的积分积累，甚至使控制量超过执行机构允许最大动作范围对应的极限控制量，引起系统过大的超调量，从而振荡，为避免这些不利的情况出现，可在被控量与设定值之间有较大偏差时，取消积分作用，避免超调量增大；当被控量接近设定值时，引入积分控制，消除稳态误差，提高控制进度。
设被控量与设定值之间的偏差阈值为X > 0 X>0X>0，该值人为设定，即
算法表达式如下：
梯形积分PID算法
在P I D PIDPID算法中，积分项的作用就是为了消除稳态误差，故而提高积分项的运算精度能更好的提高控制精度。在单片机中，对于积分运算通常使用累加的形式，也就是矩形积分，即
上述式子在程序中经常这样使用，但在P I D PIDPID算法中，并不是这样，这不得不从原始的P I D PIDPID算法说起，其表达式如下所示。
将其离散化，我们将时间t tt当做一个时刻，即第一时刻，第二时刻，第三时刻，用k kk表示，相邻两个时刻之间的时长为T TT，比如说T = 1 s T=1sT=1s,那么第一时刻即k = 1 k=1k=1时表示第一秒，第二时刻即k = 2 k=2k=2时表示第二秒，于是
也就是说，从严格意义来讲，积分项应该为
为方便编程计算把系数项全部整合在一块，称之为积分系数，所以就把T TT省略了。积分从图像上来看，就是求面积。因此在单片机中计算积分的思路就是把图形划分为宽度为T TT高度为e r r o r ( n ) error(n)error(n)的n nn个等份，然后将所有矩形面积相加便可近似为求积分的过程。T TT越小矩形面积和越接近于积分运算，但在实际工程中，T TT不可能太小，因为T TT实际上就是采样时间，也是P I D PIDPID的计算周期，T TT过小会加大单片机的负担。这样的计算方式很直观，但计算的精度较低，误差大。假设偏差e r r o r errorerror在某段时间服从函数e r r o r = − a ∗ t + b error=-a*t+berror=−a∗t+b,如下所示
那么积分运算就是指
很明显，这使得每个矩形上面填充红色的三角形都参与了计算，使得积分运算精度大大降低，为避免出现过大的误差或者进一步提高运算精度，引入梯形积分的概念，只计算e r r o r errorerror曲线以下的部分，即梯形的面积
故梯形积分的P I D PIDPID的表达式为
当偏差e r r o r errorerror不服从线性关系，或者是其他一些曲线，则不会向示例中那般毫无误差，仍会有些许误差无法计算到，但同矩形积分相比，运算精度已经得到了很大的改善。
带死区的PID算法
带死区的P I D PIDPID算法主要用于存在闭环死区的系统，当系统达到稳态时，系统的输出值仍在设定值上下有微小的震荡，其算式为
e ( k ) e(k)e(k)表示偏差，e ee0表示人为设定的一个阈值，当e ( k ) = 0 e(k)=0e(k)=0时，控制器的输出也会逐渐降为0 00，这是由于积分的原因，而对于P D PDPD或P PP控制，当e ( k ) = 0 e(k)=0e(k)=0时控制器的输出会迅速衰减到0 00。例如直流电机的位置控制，当电机转动到预定位置时，如果存在一些干扰，电机会在预定位置上下震荡，此时引入一个死区，位置环控制器输出就会为0，系统也就稳定下来了。
变速积分PID算法
变速积分P I D PIDPID算法与积分分离P I D PIDPID算法本质上相同，都是为了减小系统超调，提高系统响应速度，但是积分分离P I D PIDPID算法较为粗暴，变速积分P I D PIDPID算法则是根据偏差e r r o r errorerror的大小来改变积分的速度，偏差越大，积分越慢，反之越快。即积分项的表达式为
β ββ是关于偏差e r r o r errorerror的函数，即
其中A , B A,BA,B表示人为设定的阈值，则变速积分PID算法的表达式为
带滤波器的PID算法
当系统中存在高频干扰时，会使得系统变得不稳定，另外，在P I D PIDPID算法中，微分项会将高频干扰放大，所以需要将高频干扰过滤掉，从而使系统稳定，故引入低通滤波器。假设该滤波器传递函数为
该滤波器的转折频率为20H z HzHz，对如下系统
当干扰信号频率低于20H z HzHz，设为10H z HzHz，输出曲线如下
左图为带滤波器的输出响应，右图不带滤波器，可以看出此时两个系统输出很不稳定，波动都很大，再看看干扰信号频率大于20H z HzHz时的情况，设为100H z HzHz,输出曲线如下
很明显，此时带有滤波器的系统输出相比于之前10H z HzHz干扰信号时的输出波动幅度要小很多，此时不带滤波器的系统输出已经受到剧烈干扰，带有滤波器的系统输出波动幅度更小。在加大干扰信号的频率，设为10k H z kHzkHz，输出曲线如下
此时带有滤波器的系统输出几乎已经没有了波动。
在编程中使用带滤波器的P I D PIDPID算法时，需要对滤波器的传递函数进行Z ZZ变换并离散化，其公式为
——a aa表示滤波系数，取值（ 0 , 1 ） （0,1）（0,1）之间
——Y ( n ) Y(n)Y(n)表示滤波后的输出值
——X ( n ) X(n)X(n)表示滤波前的输入值
——Y ( n − 1 ) Y(n-1)Y(n−1)表示上一次滤波的输出值
一阶低通滤波器的系统框图如下
由此可得
接着开始Z ZZ变换并离散化，令
故而
基于前馈补偿的PID算法
对于设定值变化的系统中，为提高系统的跟踪性能，需要加入前馈补偿。既然是提高系统的跟踪性能，那自然就是系统的输出越接近于甚至等于系统的输入，也就是闭环系统的传递函数为1 11。如下图所示
假设有一个被控对象为
不加前馈补偿，如下
系统输入为w = 2 , A = 3 w=2,A=3w=2,A=3的正弦信号，我们将p i d pidpid调节到一个没有超调量的合适参数，输出图像如下
黄线表示系统输入的信号曲线，蓝线表示系统输出曲线，可以看出，输出曲线不仅幅值较系统输入小，且滞后于系统输入，我们在将p i d pidpid适当调节，增大超调减小调节时间，系统相应如下
此时的输出幅值已经很接近系统的输入了，但仍存在误差和滞后，再来看看在现在的p i d pidpid参数下加入前馈补偿的效果，系统框图如下
输出曲线如下
在响应0.1 s 0.1s0.1s内已基本重合，在放大看看
可以看出误差已经非常小，可以忽略不计了，所以加入前馈补偿可以很好地改善系统的跟踪性能。在编程中，使用前馈补偿的P I D PIDPID算法，在计算uf时，可对1 / G ( s ) 1/G(s)1/G(s)进行Z ZZ变换并离散化。