【高数】微分方程，公式+推导+例题

【高数】微分方程，公式+推导+例题

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_60631827/article/details/138309180

目录
一、一阶微分方程
1.1 可分离变量的微分方程
1.2 齐次方程
1.3 一阶线性微分方程
1.4 伯努利方程
二、二阶微分方程
2.1 二阶齐次线性微分方程
2.2 二阶常系数齐次线性微分方程
2.3 二阶非齐次线性微分方程
2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程
三、微分方程例题
第一步：求对应齐次通解
第二步：求对应非齐次特解
第三步：写出原方程通解

一、一阶微分方程

1.1 可分离变量的微分方程

（1）一般形式：
（2）求解：当
可化为：
，再同时积分：

1.2 齐次方程

（1）一般形式：
（2）求解：令：
即：
有：
代入原方程：
即可求解，最后将x，y换回来

1.3 一阶线性微分方程

（1）一般形式：
（2）一阶齐次线性微分方程
若：
，则通解：
（3）一阶非齐次线性微分方程
若：
，则通解：

1.4 伯努利方程

（1）一般形式：
（2）求解：等式两边同除
得：
…… ①
令：
，则：
将
，
代入①可得：
整理得：
，此时按一阶线性微分方程求解
求出通解之后，使用
换元得出原方程的通解

二、二阶微分方程

2.1 二阶齐次线性微分方程

（1）一般形式：
（2）通解：
（3）说明：其中
，
为该方程特解，其线性无关
即：

2.2 二阶常系数齐次线性微分方程

（1）一般形式：
（
）
（2）通解：
第一步，写出特征方程：
第二步，解特征根：
第三步，分情况写通解：
① 当
，有不等实根：
通解：
② 当
，有相等实根：
通解：
③ 当
，有共轭复根：
其中：
，
通解：

2.3 二阶非齐次线性微分方程

（1）一般形式：
（可解得特解：
）
（2）对于齐次方程：
（可解得通解：
）
（3）非齐次通解=齐次通解+非齐次特解（即：
）

2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程

（1）一般形式：
（2）非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
（3）非齐次特解（重点）：
对于
，当
猜想非齐次特解：
（注意这里的λ和m后续要用）
对其求导得：
，
，代入
得：
有以下情况：
① 情况1：
是一个m次多项式，则可设：
求导并带入可解：
，写出特解：
② 情况2：
；
是一个m次多项式，则可设：
求导并带入可解：
，写出特解：
③ 情况3：
；
是一个m次多项式，则可设：
求导并带入可解：
，写出特解：
举例：
例1：m=1，λ=2；λ满足：
，
则通解一般形式可设为：
例2：m=2，λ=0；λ满足：
则通解一般形式可设为：

三、微分方程例题

最后给出一道例题，巩固以上知识点
例题：求微分方程
解析如下

第一步：求对应齐次通解

对应齐次方程：
特征方程：
，
其中：
，
所以：
则对应齐次通解：

第二步：求对应非齐次特解

属于
，令：
由：
，
则非齐次特解一般形式：
……①
一阶导数：
……②
二阶导数：
……③
将①②③代入原方程整理可得：
解得：
，
则对应非齐次特解：

第三步：写出原方程通解