小学生必学：用容斥原理解决重叠问题

小学生必学：用容斥原理解决重叠问题

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来源

1.

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/136411423

2.

https://blog.csdn.net/hhhhhhhhhhwwwwwwwwww/article/details/139090885

3.

https://blog.csdn.net/woodcorpse/article/details/137802148

4.

https://m.qidian.com/ask/qgtbpjdamdy

5.

https://mip.zhuangpeitu.com/article/252707665.html

6.

https://www.cnblogs.com/celerity/p/18611499

7.

https://oi-wiki.org/math/combinatorics/combination/

8.

https://sx.zxxk.com/p/books-v557/

在小学数学中，有一类问题常常让同学们感到困惑，那就是“重叠问题”。比如，班上有多少同学既参加了足球队，又参加了篮球队？或者，一个班里有多少人订阅了两份不同的报纸？这些问题看起来有点复杂，但只要掌握了正确的方法，就能轻松解决。今天，我们就来学习一种强大的数学工具——容斥原理，它能帮助我们巧妙地解决这类问题。

容斥原理是一种计算多个集合并集元素数量的方法。简单来说，就是当我们计算几个集合的总元素数时，如果直接把每个集合的元素数相加，会把重叠的部分重复计算。所以，我们需要“容”（包含）所有元素，同时“斥”（排除）重复的部分。

容斥原理的基本公式是：
总数 = A类 + B类 - 重叠部分

这个公式看起来很简单，但非常有用。为了更好地理解它，我们可以借助一种直观的工具——韦恩图。

韦恩图（也叫文氏图）是用圆圈来表示集合的图形工具。每个圆圈代表一个集合，而重叠的部分则表示同时属于多个集合的元素。通过韦恩图，我们可以更直观地看到集合之间的关系。

例题1：订阅报纸的问题

三（1）班有32人订了《数学报》，30人订了《阅读报》，其中有10人两份报纸都订了。请问班级共有多少人？

根据容斥原理的公式：
总数 = A类 + B类 - 重叠部分
即：总数 = 32 + 30 - 10 = 52（人）

所以，班级共有52人。

例题2：考试成绩分析

一次测试中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。请问两道题都做对的有多少人？

设两道题都做对的人数为x，则根据容斥原理：
总人数 = 做对第一题的人数 + 做对第二题的人数 - 两题都做对的人数
因为每人至少做对一题，所以总人数也是实际的总人数，即36人。代入公式得：
36 = 21 + 18 - x
解得：x = 3（人）

所以，两道题都做对的有3人。

例题3：兴趣小组成员统计

学校开设了音乐和美术两个兴趣小组，音乐小组有5人，美术小组有4人，其中有2人同时参加了两个小组。请问参加这两个兴趣小组的一共有多少人？

根据容斥原理：
总数 = 音乐小组人数 + 美术小组人数 - 同时参加的人数
即：总数 = 5 + 4 - 2 = 7（人）

所以，参加这两个兴趣小组的一共有7人。

重叠问题不仅出现在数学竞赛中，在日常生活中也有广泛应用。比如：

• 统计调查：了解有多少人同时使用两种产品
• 数据分析：分析用户群体的重叠情况
• 商业决策：评估市场重叠程度

掌握容斥原理不仅能帮助我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维能力，让我们在面对复杂情况时能够条理清晰地分析和处理。

通过学习容斥原理，我们掌握了解决重叠问题的关键方法。记住，遇到重叠问题时，要先考虑所有元素，再排除重复的部分。同时，韦恩图是一个非常有用的辅助工具，它能帮助我们更直观地理解问题。

希望同学们在学习中多加练习，熟练运用容斥原理。相信通过不断努力，你们一定能攻克这类难题，提升自己的数学能力！