高考数学：余弦定理巧算三角形面积

高考数学：余弦定理巧算三角形面积

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/628308788

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139384063

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https://blog.csdn.net/weixin_60479183/article/details/129743271

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https://www.sohu.com/a/244550021_100182824

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https://mip.21cnjy.com/P/22266817.html

在高考数学中，余弦定理是解决三角形问题的重要工具，尤其在计算三角形面积时发挥着关键作用。本文将详细介绍如何利用余弦定理巧算三角形面积，并通过具体例题展示其应用方法。

首先，我们回顾一下余弦定理的基本内容：

对于任意三角形ABC，设a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则有：

• (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A)
• (b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B)
• (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C)

余弦定理不仅用于求解边长和角度，还可以与三角形面积公式结合使用。我们知道，三角形面积S的计算公式为：
[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C]

通过余弦定理，我们可以将面积公式转化为仅含边长的形式。具体推导如下：

由余弦定理得：
[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C]

移项得：
[2ab \cdot \cos C = a^2 + b^2 - c^2]

两边同时除以2ab得：
[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}]

利用同角三角函数的基本关系 (\sin^2 C + \cos^2 C = 1)，可以求出 (\sin C)：
[\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2}]

将 (\sin C) 代入面积公式中，得到：
[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2}]

这个公式表明，只要知道三角形的三边长，就可以直接计算出其面积，无需知道具体的角度。

例题1：已知三边求面积

已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=6，c=7，求其面积。

解：直接应用上述推导出的面积公式：
[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2}]

代入已知数值：
[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}\right)^2}]
[S = 15 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{25 + 36 - 49}{60}\right)^2}]
[S = 15 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{12}{60}\right)^2}]
[S = 15 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{25}}]
[S = 15 \cdot \sqrt{\frac{24}{25}}]
[S = 15 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}]
[S = 6\sqrt{6}]

因此，该三角形的面积为 (6\sqrt{6})。

例题2：已知两边及夹角求面积

已知三角形ABC中，AB=4，AC=5，∠BAC=60°，求其面积。

解：直接应用面积公式：
[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C]

代入已知数值：
[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 60°]
[S = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]
[S = 5\sqrt{3}]

因此，该三角形的面积为 (5\sqrt{3})。

例题3：四边形面积的计算

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

解：连接对角线BD，将四边形分为两个三角形ABD和CDB。

由圆内接四边形的性质知，∠A+∠C=180°，因此sinA=sinC。

四边形ABCD的面积S可以表示为：
[S = S_{△ABD} + S_{△CDB} = \frac{1}{2}AD \cdot AB \cdot \sin A + \frac{1}{2}BC \cdot CD \cdot \sin C]

由于sinA=sinC，上式可简化为：
[S = \frac{1}{2}(AB \cdot AD + BC \cdot CD) \cdot \sin A = \frac{1}{2}(2 \cdot 4 + 6 \cdot 4) \cdot \sin A = 16 \sin A]

接下来，我们需要求出∠A的值。利用余弦定理，在△ABD和△CDB中分别表示BD的长度：

在△ABD中：
[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos A = 20 - 16 \cos A]

在△CDB中：
[BD^2 = CB^2 + CD^2 - 2 \cdot CB \cdot CD \cdot \cos C = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos C = 52 - 48 \cos C]

由于cosC=-cosA（因为∠A+∠C=180°），所以：
[20 - 16 \cos A = 52 - 48(-\cos A)]
[20 - 16 \cos A = 52 + 48 \cos A]
[64 \cos A = -32]
[\cos A = -\frac{1}{2}]

因此，∠A=120°，代入面积公式：
[S = 16 \sin 120° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}]

所以，四边形ABCD的面积为 (8\sqrt{3})。

1. 当已知三边长时，可以直接使用推导出的面积公式进行计算。
2. 当已知两边及其夹角时，优先使用 (S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C) 进行计算。
3. 在处理复杂图形（如四边形）时，可以将其分解为多个三角形，分别计算后再求和。
4. 注意角度和边长的对应关系，确保正确应用余弦定理和面积公式。
5. 熟练掌握三角函数的基本关系，如 (\sin^2 C + \cos^2 C = 1)，这在求解过程中非常有用。

通过以上例题和技巧总结，相信你已经掌握了如何利用余弦定理巧算三角形面积。在高考数学中，灵活运用这些知识不仅能帮助你快速准确地解题，还能提升你的数学思维能力。祝你在考试中取得优异成绩！