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傅立叶变换：从数学原理到工程应用的全方位解析

创作时间:

作者:

@小白创作中心

傅立叶变换：从数学原理到工程应用的全方位解析

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/weixin_63694345/article/details/134783483

https://blog.csdn.net/qq_27825451/article/details/88553441

https://baike.baidu.com/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/7119029

https://blog.csdn.net/windqute/article/details/142383635

https://blog.51cto.com/u_15279692/2944993

https://blog.csdn.net/qq_45856698/article/details/130672634

https://zhuanlan.zhihu.com/p/435403617

https://m.blog.csdn.net/deepdsp/article/details/7241068

https://blog.csdn.net/windqute/article/details/142381008

10.

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2

11.

https://tracholar.github.io/math/2017/03/12/fourier-transform.html#%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%98%AF%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2

12.

https://tracholar.github.io/math/2017/03/12/fourier-transform.html

13.

https://iphysresearch.github.io/blog/post/signal_processing/fft/

14.

https://www.museum.uestc.edu.cn/info/1184/2856.htm

15.

https://opticsjournal.net/Articles/OJb127002066fe820/FullText

傅立叶变换作为现代科学和工程领域的核心工具之一，其理论基础和实际应用都极为广泛。本文将带你深入了解傅立叶变换的基本原理及其在信号处理、图像处理等多个领域中的具体应用案例。无论你是初学者还是专业人士，都能从中获得新的启发和知识。

引言

傅立叶变换（Fourier Transform）是一种将函数或信号分解为不同频率正弦和余弦波的数学工具。它由法国数学家约瑟夫·傅立叶在19世纪初提出，最初用于解决热传导问题。如今，傅立叶变换已广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等多个领域，成为分析和处理信号、图像、音频等数据的重要手段。

基础理论

傅立叶变换的核心思想是将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。对于周期函数，可以使用傅立叶级数（Fourier Series）来表示：

[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)] ]

其中，(a_0)、(a_n) 和 (b_n) 是傅立叶系数，可以通过以下积分计算得到：

( a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt )
( a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n\omega t) dt )
( b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n\omega t) dt )

傅立叶级数还可以表示为指数形式：

[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n\omega) e^{jn\omega t} ]

其中，(F(n\omega)) 为频谱系数，由下式给出：

[ F(n\omega) = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega t} dt ]

对于非周期函数，可以使用连续傅立叶变换（Continuous Fourier Transform）：

[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt ]

傅立叶变换具有许多重要性质，如线性性、平移不变性、缩放不变性等。这些性质使得傅立叶变换在信号处理和系统分析中具有广泛的应用。

实际应用

傅立叶变换在实际中的应用非常广泛，下面以声音降噪和图像处理为例进行说明。

声音降噪

声波是关于时间的时域函数，通过傅立叶变换可以将其转换为频域函数，得到幅值与频率的关系图。例如，在处理音频信号时，可以将信号分解为不同频率的正弦波成分。低频部分通常对应男低音，中频部分对应女高音，而高频部分可能包含噪声。通过去除高频部分的噪声成分，再使用逆傅立叶变换将信号还原到时域，可以实现声音的降噪处理。

图像处理

图像可以看作是二维的时域函数，其中位置信息对应时间信息，像素值大小对应函数值。通过傅立叶变换，可以将图像转换为频域表示，得到频谱图。图像的轮廓部分通常对应低频成分，而细节和噪声则包含在高频成分中。通过对低频部分进行增强，对高频部分进行过滤，可以实现图像的降噪和边缘增强。

Python实现

在Python中，可以使用scipy和numpy库来实现快速傅立叶变换（FFT）。以下是一个简单的示例，演示如何对一个包含多个正弦波的信号进行傅立叶变换：

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft, ifft
import matplotlib.pyplot as plt

# 采样参数
Fs = 1400  # 采样频率
T = 1 / Fs  # 采样周期
t = np.arange(0, 1, T)  # 时间向量

# 生成信号
y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 200 * t) + 5 * np.sin(2 * np.pi * 400 * t) + 3 * np.sin(2 * np.pi * 600 * t)

# 绘制原始信号
plt.figure()
plt.plot(t, y)
plt.title('原始波形')

# 快速傅立叶变换
fft_y = fft(y)
N = len(y)
x = np.arange(N)  # 频率坐标
half_x = x[range(int(N / 2))]  # 由于对称性，只取一半区间
abs_y = np.abs(fft_y)  # 取复数的模
angle_y = np.angle(fft_y)  # 取复数的幅角
norm_y = abs_y / N  # 归一化处理
half_y = norm_y[range(int(N / 2))]  # 由于对称性，只取一半区间

# 绘制频谱图
plt.figure()
plt.plot(half_x, half_y, linestyle='-', color='blue')
plt.title('频谱图')
plt.xlabel('频率/Hz')
plt.ylabel('幅值')
plt.show()

这段代码首先生成一个包含三个正弦波的信号，然后使用FFT对其进行变换，并绘制原始信号和频谱图。通过观察频谱图，可以清晰地看到信号中包含的三个频率成分。