排列组合、概率问题与容斥原理详解
排列组合、概率问题与容斥原理详解
排列组合、概率问题与容斥原理是数学中的重要概念，广泛应用于各类考试和实际问题中。本文将系统地介绍这些概念的基本原理、解题方法，并通过具体例题帮助读者掌握其应用。
一、排列组合
排列组合是组合数学的基础，主要研究对象是有限集合的子集和排列。
基本概念
- 分类与分步
- 分类：单独拿出一个步骤，如果可以完成这件事，就是分类。例如，从A地到B地可以选择高铁（3种选择）、飞机（4种选择）、私家车（5种选择），问从A地到B地有多少种选择？答案是每一种交通工具都可以从A地到B地，为分类，用相加：3+4+5=12。
- 分步：如果不能完成这件事，必须所有步骤都完成，就是分步。例如，从A地到B地需要经过C地中转，单独开私家车无法到达B地，分为两步进行，必须先从A地到C地，再从C地到B地，只有每一步都完成，才能从A到B，为分步。
- 例：每天早晨起来都是拥抱太阳，打开衣柜以后，有2件上衣、3条裤子、2双鞋，问今天的服装搭配有多少种。单独穿1件穿上衣或者1条裤子或1双鞋，都无法完成穿衣服这件事，所以穿衣服这件事是分步，穿上衣、裤子、鞋都要完成。
- 排列与组合
- 排列：选取元素的顺序对于结果有影响，用A表示。常见于排队、排序的题干环境。
- 例：从大美圆、野狼志、鸡汤照、粤语涛、美食熙中，选出2人，第1人教你言语，第2人教你数资。假设选出的2人为鸡汤照、美食熙，先选鸡汤照教言语，后选美食熙教数资，鸡汤照不擅长教言语，美食熙不擅长教数资，把顺序对调之后鸡汤照擅长教数资，美食熙擅长教言语，对调顺序对结果有影响，用排列，用A（5,2）。
- 组合：选取元素的顺序对于结果无影响，用C表示。常见于选人、确定名单的题干环境。
- 例：从大美圆、野狼志、鸡汤照、粤语涛、美食熙中，选出2人，教你学习。从5个人中选2个人，要先知道选出来是干什么事，本题中的事是“教你学习”，假设选出的2人为鸡汤照、美食熙，先选鸡汤照，后选美食熙，顺序对调之后结果都是鸡汤照、美食熙陪你学习，即无影响，用组合，为C（5,2）。
例题解析
- （2020新疆）某美术馆计划展出12幅不同的画，其中有3幅油画、4幅国画、5幅水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式？
A.不到1万种
B.1万～2万种之间
C.2万～3万种之间
D.超过3万种
解析：出现“必须连在一起”，为相邻问题，考虑捆绑法。已知“要求同一种类的画必须连在一起”，将3幅油画捆绑，内部有顺序，为A（3,3）；同理，将4幅国画捆绑为A（4,4）；将5幅水彩画捆绑为A（5,5）。已知“油画不放在两端”，油画只能在中间，要么国画在左、水彩画在右，要么水彩画在左、国画在右，对调顺序对结果有影响，为A（2,2）。先捆再排，分步用乘法，所求=A（3,3）A（4,4）A（5,5）A（2,2）=6241202=720*48＞3万，对应D项。【选D】
- （2020联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24种
B.72种
C.96种
D.120种
解析：“某学员要先后学完这五个部分”，提示有顺序。出现“不能连续进行”，为不相邻问题，考虑插空法。已知“观看视频和阅读文章不能连续进行”，观看视频、阅读文章不能相邻。先排收藏分享、论坛交流、考试答题，内部有顺序，为A（3,3）；3个部分形成4个空，从4个空中选出2个空，插入观看视频、阅读文章，调换顺序对结果有影响，为A（4,2）。先排再插，分步用乘法，所求=A（3,3）A（4,2）=64*3=72，对应B项。【选B】
二、概率问题
基础概念
- 分类与分步
- 分类相加：要么……要么……。
- 分步相乘：既……又……。
- 排列与组合：看顺序调换后有无影响。
- 有序排列（A）。
- 无序组合（C）。
经典题型
- 枚举法：选项情况数少（10种以内）。
- 相邻问题
- 先捆：把要相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
- 后排：把捆后的整体与其他元素进行排列。
- 不相邻问题
- 先排：先把可以相邻的元素进行排列。
- 后插：将不相邻的元素插入到空位中。
概率问题：正难反易
- 给情况，求概率：P=满足/全部。
- 给概率，求概率：分类相加、分步相乘。
三、容斥原理
标准型
分开给出两两交集。公式：总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不。先加和A+B+C+都不，A∩B、A∩C、B∩C都加了两次，都需要减去一次；A∩B∩C加了三次，减了三次，此时空了，需要加上一次；要做到不重不漏，总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不。
非标准型
统一给出只满足两种情况。公式：总数=A+B+C-满足两项-2满足三项+都不。红色阴影部分是只满足两项的部分，先加和A+B+C，红色阴影满足两项的部分加了两次，减去一次；三者交集的部分加了三次（△），需要减去两次；总数=A+B+C-满足两项-2满足三项+都不。
注意事项
容斥问题：不一定考查，但是考查概率很大。
- 公式法
- 所给/所求都为公式中的一部分。
- 两集合：全部=A+B-A∩B+都不。
- 三集合
- 标准：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+都不。分开给两两交集。
- 非标：全部=A+B+C-满足两种-2*满足三种+都不。统一给只满足两种。
- 画图法
- 所给/所求出现“只A”。
- 步骤
- 第一步，画图。几个集合，画几个圈。
- 第二步，标数。从交集标，不重不漏。
- 第三步，加和。根据选项，观察尾数。
- 容斥最值：根据公式列式，分析最值情况。
学习建议
- 数量关系：要清楚自己能做的题型是哪些，比如工程问题、容斥问题、方程问题、套路题，这些题型都是可以掌握的，在刷题时针对性刷题，可以工程问题连续刷50道，经济利润问题连续刷50道……，一天做10道，5天做一个题型。
- 资料分析
- 如果做资料分析慢、正确率不高、提升速度慢，如何有效提升？
- 先把基础打牢，各种题型的公式、基本概念要熟记之后再刷题。
- 判定题型慢：当题干特别长的时候，其实并不是题型难判别，只是本题的主体比较长而已，本质上对于判定题型来说没有影响。要找判断题型的关键字，比如出现“占”字，就确定为比重问题，再找部分、总体，如果判定题型和找主体放在一起找，就容易混乱，从而找错数据。
- 第一步：先找判定题型的关键字，增长+倍、占、平均。
- 第二步：找主体的关键字。
- 例：在粉笔年底年终奖增速最高的年份，长得最帅的数资老师其工资占其收入的比重比长得最高的言语老师高了几个百分点？
- 读题：先找判别题型的关键字，看到“占”字，是比重问题。谁比谁高了多少个百分点，是两个主体之间的百分点关系，百分点是由两个比重（百分数）作差得来的，再对应材料找两个主体，最帅的数资老师是志哥，最高的言语老师是熙熙，再找对应的数据即可。
- 方法、技巧、习惯：在课堂上积累自己的做题技巧和习惯，这是提速的关键。方法精讲上讲的是比较基础的知识点，在强化中会有一些提升。比如求间隔基期，先求r间=17.6%+16.7%+17.6%*16.2%，间隔基期=2314/（1+r间）。资料分析一切都是从选项入手，假设选项差距大，分母保留两位，所以在求r间时只需要求出首位即可，大致看一眼，不需要具体计算出是多少，r间=17.6%+16.7%+17.6%*16.2%，大约是30%出头的数，则间隔基期=2314/1.3。
- 细化和复盘：让自己变得更加稳。每天做完题之后要做复盘日记，做一套复盘的提升效果要远远大于做两套不复盘的提升效果，重点有三个内容：
- 知识点：分析自己的薄弱知识点，进行针对性提升。
- a.两期比重计算不会识别。
- b.超过几倍到底和几倍去比啊。如A超过B的5倍，“超过”是大于的意思，A＞B*5→A/B＞5，超过几倍就和几倍去比较。
- 陷阱：分析自己掉入的陷阱。
- a.又把基期当现期了，我了个去……。做题时一定要看清楚时间。
- b.2011～2015年，增长率＞10%的有几个，看2011年的得看2010年的基期，记住记住，别再犯错了。
- 习惯：听了一节模考课，原来平均数的倍数还可以这么做……。如平均数：A/B÷（C/D），可以看A/C÷（B/D）。