梯形面积计算方法详解

梯形面积计算方法详解

本文节选自《数理化自学丛书6677版》，该系列丛书由“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版。这套丛书层次大致相当于如今的初高中水平，特别适合已接受过基础教育但基础不够扎实的学生进行查漏补缺。

第三章 多边形的面积

§3-5 梯形的面积

梯形面积定理

梯形的面积等于高和两底和的积的一半。

已知：梯形 ABCD，上底 CD＝b，下底 AB＝b'，高 DD'＝h（图3·18）。

求证：梯形ABCD的面积＝(1/2)(b＋b')h 。

证明：

1. 作对角线 AC，AC 分梯形 ABCD 为 △ABC 和 △ACD 。
2. 以 A 为顶点，作 △ACD 的高 AA'，以 C 为顶点，作 △ABC 的高 CC' 。
3. ∵ AB∥CD，∴ △ABC 的高 CC' 和 △ACD 的高 AA' 相等，并且都等于 DD' 。

推论

梯形的面积等于中位线和高的积。

已知：梯形 ABCD，中位线 MN＝m，高 CC'＝h（图3·19）。

求证：梯形ABCD的面积＝mh 。

证明：

1. 梯形ABCD的面积＝(1/2)(AB＋CD)CC' 。
2. ∵ 梯形的中位线等于两底的和的一半，即 MN＝(1/2)(AB＋CD)，
3. ∴ 梯形ABCD的面积＝MN·CC'＝mh 。

例题1

等腰梯形的两底分别为 51 厘米和 69 厘米，腰为 41 厘米。求它的面积。

已知：在梯形 ABCD 中，AB＝69cm，BC＝DA＝41cm，CD＝51cm（图3·20）。

求：梯形 ABCD 的面积。

解：

1. 作梯形的高 DD' 和 CC' 。
2. ∵ DA＝BC，DD'＝CC'，
3. ∴ 直角三角形AD'D≌直角三角形BC'C，
4. 从而 AD'＝BC' 。
5. ∵ 四边形D'C'CD为矩形，∴ CD＝C'D' 。
6. 由此得 AD'＝(1/2)(AB－CD)＝(1/2)×(69－51)＝9(cm) 。
7. 从勾股定理，得
8. ∴ 梯形ABCD的面积＝(1/2)×(69＋51)×40＝2400(cm²) 。

答：梯形 ABCD 的面积为 2400 平方厘米。

例题2

已知直角梯形 ABCD 的一个锐角 A 为 30°，AB＋CD＝m cm，BC＋AD＝n cm（图3·21）。求梯形ABCD的面积。

解：

1. 作梯形的高 DD' 。
2. ∵ 直角三角形 AD'D 的锐角 A＝30°，∴ AD＝2DD' 。
3. ∵ 四边形 D'BCD 为矩形，∴ D'D＝BC 。
4. 设 DD'＝h，那末 BC＋AD＝DD'＋2DD'＝3DD'＝3h＝n，
5. ∴ h＝n/3 (cm) 。
6. 梯形ABGD的面积＝(1/2)h(AB＋CD)＝(1/2)·(n/3)·m＝(1/6)mn(cm²) 。

答：梯形 ABCD 的面积为 (1/6)mn 平方厘米。

其他多边形面积计算

以上我们推导了计算矩形，平行四边形，三角形，梯形的面积公式。其他多边形我们可以将它划分成三角形或梯形，然后计算这些三角形和梯形的面积，它们面积的和就是原多边形的面积。图3·22表示了怎样把一个多边形划分为三角形或梯形的方法。在图3·22(1)里，从顶点 A 所引的对角线把多边形 ABCDEF 划分成四个三角形。请读者在图里找出这些三角形的底和高，研究怎样计算这个多边形的面积。在图3·22(2)里，对角线 CG 把多边形 ABCDEFGH 划分成两部分，再从其他顶点向 CG 作垂线，这些垂线又把每一个部分划分为直角三角形和直角梯形。请读者在图里找出这些直角三角形的底和高，直角梯形的两条底和高，研究怎样计算这个多边形的面积。

习题3-5

1. 等腰梯形的腰为 1 分米，而短底为 16 厘米，腰和长底所夹的角为 60° 。求它的面积。
2. 在四边形 ABCD 中，已知 AB＝AD，CB＝CD，对角线 AC＝a，BD＝b 。计算它的面积。
3. 已知一梯形的高为 8 尺，面积为 2 平方丈。求两腰中点连线的长。
4. 证明：以梯形的一腰的中点及其另一腰的两端为顶点的三角形的面积，为原梯形面积的一半。
5. 设一梯形的长底是短底的 3 倍，又是高的 2 倍。已知它的面积是 1176 平方米。求两底和高的长度。
6. 把梯形的长底延长，使延长部分等于短底。同向延长短底，且延长部分等于长底。连结这两延长线段的端点，那末得到怎样的图形？和原梯形的面积有什么关系？
7. 从三角形 ABC 的各顶点作三条平行线 AD，BE 和 CF，各与对边或它的延长线交于 D，E 和 F 。求证 △DEF 的面积是 △ABC 的面积的 2 倍。
8. 过平行四边形的对角线交点的任意一条直线，分这平行四边形为等积的两部分。
9. 延长 △ABC 的边 AB 到 D，BC 到 E，CA 到 F，使 AB＝BD，BC＝CE，CA＝AF 。证明 △DEF 的面积是 △ABC 面积的 7 倍。
10. 已知 E 为四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的交点，求证