用向量推导三角恒等变换，看完还需要死记硬背吗？

用向量推导三角恒等变换，看完还需要死记硬背吗？

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_30765637/article/details/112248962

三角恒等变换公式是数学学习中的重要知识点，但往往被学生视为需要死记硬背的内容。本文将从向量的角度重新审视这些公式，通过向量的夹角公式推导出一系列三角恒等变换公式，帮助读者理解这些公式的本质和推导过程。

假设两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，两个向量之间的夹角为θ，那么根据上篇文章中向量数量积的运算规则，可以很方便地用坐标值表示夹角的余弦值：

在上述定义的基础上，我们假设向量a、b均为单位向量、向量起始点均在原点，那么两个向量的终点都落在单位圆上。

由任意角的三角函数在单位圆的定义可知，单位圆上的点对应角度的余弦值为其横坐标值、对应角度的正弦值为其纵坐标值。设向量a的终点对应角度为α，向量b的终点对应角度为β，那么对应的终点坐标为：

易知，向量之间的夹角θ与两个角度的关系为：

将上述等式带入等式(1)中并化简，可得：

这个等式就是三角恒等变换中的两角差的余弦。

由这个等式进行简单变换便可得到其他三角恒等变换的表达式。将等式(2)中的β替换成-β，可得：

将等式(2)中的α替换成α-π/2，可得：

将等式(4)中的β替换成-β，可得：

我们从向量的夹角公式，结合任意角在单位圆中的定义，经过简单变换，推导出了等式(2)(3)(4)(5)四个三角恒等变换公式。三角恒等变换公式不需要死记硬背，它们之间是可以利用诱导公式互相转化的，理解推导的思想更加重要。