如何推导折射定律(图文版)

如何推导折射定律(图文版)

例. 折射是生活中常见的现象。比如，下图左侧中在湖面上游泳的水鸟，由于光线折射，导致其身体在水面上和水面下看起来明显错位。再比如，下图右侧中展示了一束光线从空气中的 点射出，在水面 点发生折射后到达水中的 点。

解 . 已知上图右侧中光在空气和水中的传播的速度分别为 和 ，请尝试确定光线传播的路径，即确定 点的位置。（1）要求解本题需要对光的折射有所理解，让我们从生活中的一个例子讲起。想象你是一名海岸救生员，突然发现远处有一位溺水者，如下图左侧所示。沿直线前去救援可能不是最佳选择，因为这样会在水中行进较长距离，而水中游泳速度较慢，从而增加救援时间。或许，选择一条折线路径可能更高效，因为你可以在陆地上快速移动，减少在水中的时间，从而更快到达溺水者的位置，如下图右侧所示。

这种救援策略与光的传播原理有着惊人的相似之处。法国律师、数学家费马，如下图左侧所示，在 1662 年提出的费马原理（Fermat's principle）指出：光在传播时总是选择耗时最短的路径。这一原理表明，光线不会简单地沿直线传播，而是遵循最省时的路径。比如就本题而言，光线从 点出发，会经 点沿折线路径到达 点，而非经 点沿直线路径到达 点。这是因为光在空气中的传播速度 快，在水中速度的传播速度 慢，所以光线会在空气中多走一些（ ），在水中少走一些（ ），从而使总耗时最短。

这里提到的费马原理就是接下来求解的关键。

（2）转为闭区间上函数的最值问题。以水面为 轴建立 坐标系，并标注出之后计算所需要的量，如下图所示。

根据上图的标注，可求出 的长度以及 的长度分别为：

^2})

所以光从 点到达 点的时间函数) 为：

=\frac{AP}{v_1}+\frac{PB}{v_2}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}{v_2},\quad,x\in,[0,l])

上式仅关注了 点在 点、 点之间（ ）的情况，这是因为当 点在此范围外时，光线沿折线 传播必然耗时更长。具体而言，当 点在 点左侧时， 且 ，如下图左侧所示；当 点在 点右侧时， 且 ，如下图右侧所示。这表明在这两种情况下，光线经过 点或 点的路径比经过 点更省时。

（3）求出函数) 的最小值，也就是确定 点的位置。分别求出函数) 的一阶和二阶导数：

=\frac{1}{v_1}\cdot,\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{1}{v_2}\cdot,\frac{l-x}{\sqrt{b^2+(l-x)^2}},\quad,x\in[0,l])

,=,\frac{1}{v_1}\cdot,\frac{a^2}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{v_2}\cdot,\frac{b^2}{[b^2+(l-x)^2]^{\frac{3}{2}}},%3E,0,\quad,x\in,[0,l])

由此可推出,%3C,0) 以及,%3E,0) ，结合上,%3E,0) 以及) 是连续函数，根据之前学习过的导数与函数的单调性以及二阶导数与函数的凹凸性等，可作出函数) 的草图，如下图所示。从而可知) 在) 内存在唯一零点 ，且 点是函数) 在) 内的唯一极小值点，该 点也是函数) 在 上的最小值点。

根据上面的分析可知，函数) 在 上的最小值点 满足=0) ，从而可得：

=0\implies\frac{x_0}{v_1\sqrt{a^2+x_0^2}},=,\frac{l-x_0}{v_2\sqrt{b^2+(l-x_0)^2}})

根据上面图中的标识，可知有 以及^2}}) ，所以上式可改写为：

这就是说，当 点满足以上条件时，折线 就是光线的传播路径。上式就是光学中著名的折射定律，也称为斯涅尔定律（Snell's Law），其中 分别称为光线的入射角和折射角。