高中二项分布的期望和方差_高中数学知识点解答

高中二项分布的期望和方差_高中数学知识点解答

二项分布是高中数学概率统计中的一个重要概念，其期望和方差的计算公式在各类考试中频繁出现。本文将详细介绍二项分布期望和方差的计算方法及其证明过程，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二项分布的期望和方差

解答：

二项分布的期望和方差公式如下：

• 二项分布期望：np
• 二项分布方差：np(1-p)
• 0-1分布期望：p
• 0-1分布方差：p(1-p)

证明过程：

最简单的证明方法是将二项分布随机变量X分解成n个相互独立的、都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和：

X = X1 + X2 + ... + Xn, 其中Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n.

对于每个Xi，其概率分布为：

• P{Xi=0} = 1-p
• P{Xi=1} = p

计算Xi的期望和方差：

• EXi = 0*(1-p) + 1*p = p
• E(Xi^2) = 0^2*(1-p) + 1^2*p = p
• DXi = E(Xi^2) - (EXi)^2 = p - p^2 = p(1-p)

因此，整个二项分布随机变量X的期望和方差为：

• EX = EX1 + EX2 + ... + EXn = np
• DX = DX1 + DX2 + ... + DXn = np(1-p)

这个证明过程清晰地展示了二项分布期望和方差公式的推导，对于理解二项分布的性质非常有帮助。