从线性回归到Logistic回归：一个直观的数学推导
从线性回归到Logistic回归：一个直观的数学推导
在机器学习和统计学中，Logistic回归模型是一个非常重要的分类算法。本文将从线性回归的局限性出发，逐步推导出Logistic回归模型的数学表达式，帮助读者理解这一模型的原理和特点。
线性回归的局限性
当我们研究某一结果（y）与一系列因素（x1, x2, ..., xn）之间的关系时，最直观的想法是建立一个多元线性回归模型：
$$
y = \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + \cdots + \alpha_nx_n
$$
如果结果y是一个数值型变量，上述模型可以很好地解释各个因素对结果的影响。但是，当结果y是一个二分类变量（如0-1）或者表示事件发生的概率（0~1）时，这种线性关系就显得不够敏感。因为即使某个关键因素（xi）发生微小变化，结果y的变化也可能微乎其微。
Logit变换的引入
为了克服线性回归的这一局限性，人们引入了Logit变换。Logit变换的核心思想是通过一个非线性变换，使得自变量的微小变化能够引起因变量的显著变化。
从对数函数的图像来看，其在（0，1）区间内的变化非常剧烈，这正好符合我们对模型的期望：即自变量的微小变化能够导致因变量的显著变化。因此，我们让因变量取对数，得到：
$$
\log(y) = \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + \cdots + \alpha_nx_n
$$
虽然上述变换解决了因变量对自变量变化的敏感性问题，但同时也限制了y的取值范围为(0，+∞)。然而，一个事件的发生与否应该是调和对称的，也就是说，事件发生与不发生的概率应该具有对立性。因此，我们需要引入"几率"的概念。
几率的概念
几率（odds）是指事件发生的概率与不发生的概率之比。假设事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p，那么事件A的几率为：
$$
odds(A) = \frac{p}{1-p}
$$
几率具有很好的对称性，它反映了事件发生与不发生的对立关系。我们来看一下概率和几率的关系：
- 当概率p从0.01增大到0.99时，几率也从0.01随之增大到99，两者具有很好的正相关性。
- 当p趋近于0时，几率也趋近于0；当p趋近于1时，几率趋近于无穷大。
因此，几率的取值范围恰好是(0，+∞)，这符合我们的预期。
Logistic模型的推导
由于概率和几率之间存在密切的对应关系，我们可以尝试用几率来代替概率，这样既能保持对自变量变化的敏感性，又能保持结果的对称性。于是我们得到：
$$
\log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + \cdots + \alpha_nx_n
$$
为了使表达式更加简洁，我们可以将等式左边的对数改为自然对数ln，并将等式右边改写为向量乘积形式：
$$
\ln\left(\frac{p}{1-p}\right) = \alpha X
$$
其中，$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$，$X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$。
通过求解上述方程，我们得到：
$$
p = \frac{e^{\alpha X}}{1 + e^{\alpha X}}
$$
这就是我们熟悉的Logistic模型。其图像如下所示：
从图中可以看出，Logistic函数的图像是一条S型曲线，又称为Sigmoid曲线。这条曲线以（0，0.5）为中心，曲线在中心位置变化速度最快，在两端的变化速率较慢。这种特性使得Logistic模型非常适合处理二分类问题，能够将输入映射到（0，1）区间，从而表示事件发生的概率。